1 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

2 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）.当点与椭圆的上顶点重合时，.
（1）求椭圆的方程
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，O为坐标原点，给出下列四个结论：
①椭圆C上存在一点P，使得为钝角
②椭圆C上存在点P，Q，使得四边形为正方形
③P，Q，R为椭圆C上非顶点的三个点，若，则直线OP的斜率与直线QR的斜率的乘积为定值
④P，Q为椭圆C上的两个点，若，则直线PQ与圆相切
其中所有正确结论的编号是（       ）

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线(的斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

5 . 已知点，，点P满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且
（1）求点的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 已知椭圆的长轴长为4，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，且与椭圆相交于，两点（异于点），过作的角平分线交椭圆于另一点.
（i）证明：直线与坐标轴平行；
（ii）当时，求四边形的面积

7 . 已知椭圆的离心率为，点，，，的面积为4.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设A，B是x轴上不同的两点，点A在椭圆E内（异于原点），点B在椭圆E外.若过点A作斜率存在且不为0的直线与E相交于不同的两点P，Q，且满足，求证点A，B的横坐标之积为定值.

8 . 已知椭圆：过点，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：.

9 . 黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则______.

10 . 已知圆，点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
（1）求证：为定值及动点的轨迹的方程；
（2）不在轴上的点为上任意一点，与关于原点对称，直线交于另外一点．求证：直线与直线的斜率的乘积为定值，并求出该定值．