1 . 定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.

2 . 已知直线：，：，动点在椭圆：上，作交于，作交于.

(1)求的值；
(2)设直线：交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值.其中为坐标原点.

3 . 已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的方程．
(2)若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点，如图所示．设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．

4 . 已知椭圆的某三个顶点形成边长为2的正三角形，O为C的中心.
（1）求椭圆C的方程；
（2）P在C上，过C的左焦点F且平行于的直线与C交于A，B两点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

5 . 已知椭圆：的离心率为，且椭圆上的点到右焦点的距离最长为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）过点的直线与椭圆交于两点，的中垂线与轴交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

6 . 已知点，，点P满足：直线的斜率为，直线的斜率为，且
（1）求点的轨迹C的方程；
（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，问在x轴上是否存在点Q，使得为定值?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为．

（1）求该椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，，求证：直线，的斜率之和为定值．