1 . 已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．
   
(1)如图1所示，已知|，求线段中点到轴的距离；
(2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；
(3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段MN与线段的交点为，求直线斜率的取值范围．

2 . 已知抛物线的焦点为，准线为．
(1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程；
(2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；
(3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、．试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．

3 . 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，.
(1)①求C的方程；
②若M点在第一象限且，求；
(2)动直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，P是抛物线上异于A，B的一点，记PA，PB的斜率分别为，，t为非零的常数.
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①P点坐标为； ②；③直线AB经过点.（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）

4 . 如图，设抛物线的焦点为F，圆与y轴的正半轴的交点为A，为等边三角形.

(1)求抛物线C的方程；
(2)设抛物线C上的点处的切线与圆E交于M，N两点，问在圆E上是否存在点Q，使得直线，均为抛物线C的切线，若存在，求Q点坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知抛物线的焦点，若平面上一点到焦点与到准线的距离之和等于7.
（1）求抛物线的方程；
（2）又已知点为抛物线上任一点，直线交抛物线于另一点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点，连接 问直线是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.

6 . 已知直线经过抛物线的焦点，点，为轴上两定点．过点的直线与抛物线交于，两点，直线，分别与抛物线交于异于点，的，两点．
（1）求抛物线方程．
（2）直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过，说明理由．

7 . 已知为坐标原点，抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，曲线在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）设不经过点和的动直线交曲线于点和，交于点，若直线的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由．

8 . 已知抛物线：（）与椭圆：相交所得的弦长为
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设，是上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值（）时，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．