1 . 已知抛物线()的焦点为，点在上，且.
（1）求的方程；
（2）过点作两条直线，，分别交于点，，若以线段为直径的圆过点，试讨论直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

2 . 已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E.

（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标.

3 . 动圆过定点，且与直线相切，其中，设圆心的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设直线交轨迹于不同的两个点、，当时，直线过定点，请求出定点坐标；
（3）设轨迹上的两个定点、，分别过点、作倾斜角互补的两条直线、分别与轨迹交于、两点，求证：直线的斜率为定值．

4 . 已知抛物线：的准线与轴交于点，过点作圆：的两条切线，切点为，，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）．
①求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；
②过点作的垂线与抛物线交于，两点，求四边形面积的最小值．

5 . 已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．
（1）若直线过焦点，且，求的值；
（2）已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．

6 . 如图，方程为的抛物线，其上一点到焦点的距离为，直线与交于、两点（点在轴左侧，点在轴右侧），与轴交于点.

（1）求抛物线的方程；
（2）若，求证直线过定点，并求出定点坐标；
（3）若，，求直线的斜率的值.

7 . 已知抛物线的焦点为，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.
（1）若点在点的右侧,当点的横坐标为3，且为等边三角形，求的方程.
（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为，交轴于点，且.
①求证：点的坐标为.
②求点到直线的距离的取值范围.

8 . 已知直线经过抛物线的焦点，点，为轴上两定点．过点的直线与抛物线交于，两点，直线，分别与抛物线交于异于点，的，两点．
（1）求抛物线方程．
（2）直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过，说明理由．

9 . 已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点.

（1）证明：直线过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线交椭圆于、两点，、分别是、的面积，求的最小值.

10 . 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上的动点（异于顶点）.
（1）若过点作准线的垂线，垂足为，的重心为，求证：直线与抛物线相切；
（2）若过定点的直线与抛物线交于不同的两点、，且，其中、分别为直线、的斜率，求点的坐标.