1 . 已知抛物线()的焦点为，点在上，且.
（1）求的方程；
（2）过点作两条直线，，分别交于点，，若以线段为直径的圆过点，试讨论直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

2 . 已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E.

（1）求抛物线C的方程；
（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标.

3 . 已知抛物线的焦点，若平面上一点到焦点与到准线的距离之和等于7.
（1）求抛物线的方程；
（2）又已知点为抛物线上任一点，直线交抛物线于另一点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点，连接 问直线是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.

4 . 如图，已知是抛物线上的任意一点，，，，连接并延长交抛物线于另一点，连接并延长交抛物线于另一点，连接并延长交抛物线于另一点，设直线与的交点为.

（1）求证：直线过点；
（2）设和四边形的面积分别为，，当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并说明理由；若不是，求出关于的表达式.

5 . 已知抛物线（）的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，.
（1）求的方程；
（2）若在上，，为上不同于的两动点，直线，的斜率之积为-2，证明：直线过定点.

6 . 动圆过定点，且与直线相切，其中，设圆心的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设直线交轨迹于不同的两个点、，当时，直线过定点，请求出定点坐标；
（3）设轨迹上的两个定点、，分别过点、作倾斜角互补的两条直线、分别与轨迹交于、两点，求证：直线的斜率为定值．

7 . 已知抛物线：的准线与轴交于点，过点作圆：的两条切线，切点为，，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）．
①求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；
②过点作的垂线与抛物线交于，两点，求四边形面积的最小值．

8 . 已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．
（1）若直线过焦点，且，求的值；
（2）已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．

9 . 已知动点到直线的距离比到点的距离大.
（1）求动点所在的曲线的方程；
（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；
（3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.

10 . 已知抛物线：，若圆：经过抛物线的焦点，且圆心在抛物线上．
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）若，是抛物线上与点不重合的动点，且直线与直线的斜率之和为，判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．