1 . 已知抛物线：的焦点为.
       
(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．

2 . 抛物线的准线被圆截得的弦长为．
(1)求的值；
(2)过点的直线交抛物线于点，证明：以为直径的圆过原点．

3 . 已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为.
(1)求的方程；
(2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值.

4 . 已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、.
(1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)若，求线段的中点到轴的距离；
(3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数.

6 . 已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．

7 . 如图，已知抛物线，焦点为，准线为直线，为抛物线上的一点，过点作的垂线，垂足为点．当的横坐标为3时，为等边三角形．

(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，交直线于点，交轴于．
①若，，求证：为常数；
②求的取值范围．

8 . 在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到的距离等于.设动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，证明：为定值.

9 . 已知抛物线与直线相切.

(1)求抛物线的方程；
(2)设为抛物线的准线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，证明：.

10 . 如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大．