解题方法
1 . 学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后自主学习，人们普遍认为课后自主学习时间越多学习效果越好.某权威研究机构抽查了部分高中学生，对学生每天花在数学上的课后自主学习时间（
分钟）和他们的数学成绩（
分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到
，
，
的方差为350，
的相关系数
（
）.
(1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；
(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.
分钟）和他们的数学成绩（分）做出了调查，得到一些数据信息并证实了与正相关.“学霸”小李为了鼓励好朋友小王和小张努力学习，拿到了该机构的一份数据表格如下（其中部分数据被污染看不清），小李据此做出了散点图如下，并计算得到，，的方差为350，的相关系数（）. (1)请根据所给数据求出
的线性经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩；(2)受到小李的鼓励，小王和小张决定在课后花更多的时间在数学学习上，小张把课后自主学习时间从20分钟增加到60分钟，而小王把课后自主学习时间从60分钟增加到100分钟.经过几个月的坚持，小张的数学成绩从50分提升到90分，但小王的数学成绩却只是从原来的100分提升到了115分.小王觉得很迷惑，课后学习时间每天同样增加了40分钟，为什么自己的成绩仅仅提升了十几分呢，为什么实际成绩跟预测的成绩差别那么大呢？
①请根据你对课后自主学习时间与数学成绩的关系的看法及对一元回归模型的理解，解答小王的疑惑；
②小李为了解答小王的疑惑，想办法拿到了上表中被污染的数据如下.据此，请在上图中补齐散点图，并给出一个合适的经验回归方程类型（不必求出具体方程，不必说明理由）.
编号 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
x | 85 | 90 | 100 | 110 | 120 |
y | 113 | 114 | 117 | 119 | 119 |
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
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名校
2 . 某公司为了研究年宣传费（单位：千元）对销售量（单位：吨）和年利润
（单位：千元）的影响，搜集了近 8 年的年宣传费和年销售量
数据：
(1)请补齐表格中 8 组数据的散点图，并判断
与
中哪一个更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)若（1）中的
，且产品的年利润与，的关系为
，为使年利润值最大，投入的年宣传费应为何值？
（单位：千元）对销售量（单位：吨）和年利润（单位：千元）的影响，搜集了近 8 年的年宣传费和年销售量数据： | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 38 | 40 | 44 | 46 | 48 | 50 | 52 | 56 |
| 45 | 55 | 61 | 63 | 65 | 66 | 67 | 68 |
(1)请补齐表格中 8 组数据的散点图，并判断
与中哪一个更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式？（给出判断即可，不必说明理由）(2)若（1）中的
，且产品的年利润与，的关系为，为使年利润值最大，投入的年宣传费应为何值？
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2018-02-11更新
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214次组卷
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2卷引用：福建省泉州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题
解题方法
3 . 假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元）统计数据如下：
若有数据知对呈线性相关关系.求：
（1）补全图表并求出线性回归方程
的回归系数
，
；
（2）估计使用10年时，维修费用是多少.
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，
）
和所支出的维修费用（万元）统计数据如下：| 使用年限 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 维修费用 | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若有数据知
对呈线性相关关系.求：| 序号 | | |  |  |
| 1 | 2 | 2.2 | ||
| 2 | 3 | 3.8 | ||
| 3 | 4 | 5.5 | ||
| 4 | 5 | 6.5 | ||
| 5 | 6 | 7.0 | ||
 |
（1）补全图表并求出线性回归方程
的回归系数，；（2）估计使用10年时，维修费用是多少.
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，）
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4 . 近几年，电商行业的蓬勃发展带动了快递业的迅速增长，快递公司揽收价格一般是采用“首重+续重”的计价方式.首重是指最低的计费重量，续重是指超过首重部分的计费重量，不满一公斤按一公斤计费.某快递网点将快件的揽收价格定为首重（不超过一公斤）8元，续重2元/公斤（例如，若一个快件的重量是0.6公斤，按8元计费；若一个快件的重量是1.4公斤，按
元
元
元计费）.根据历史数据，得到该网点揽收快件重量的频率分布直方图如下图所示
（1）根据样本估计总体的思想，将频率视作概率，求该网点揽收快件的平均价格；
（2）为了获得更大的利润，该网点对“一天中收发一件快递的平均成本
（单位：元）与当天揽收的快递件数（单位：百件）
之间的关系”进行调查研究，得到相关数据如下表：
根据以上数据，技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程：
方程甲：
，方程乙：
.
①为了评价两种模型的拟合效果，根据上表数据和相应回归方程，将以下表格填写完整（结果保留一位小数），分别计算模型甲与模型乙的残差平方和
，
，并依此判断哪个模型的拟合效果更好（备注：
称为相应于点
的残差，残差平方和
；
②预计该网点今年6月25日（端午节）一天可以揽收1000件快递，试根据①中确定的拟合效果较好的回归模型估计该网点当天的总利润（总利润=（平均价格-平均成本）×总件数）.
元元元计费）.根据历史数据，得到该网点揽收快件重量的频率分布直方图如下图所示（1）根据样本估计总体的思想，将频率视作概率，求该网点揽收快件的平均价格；
（2）为了获得更大的利润，该网点对“一天中收发一件快递的平均成本
（单位：元）与当天揽收的快递件数（单位：百件）之间的关系”进行调查研究，得到相关数据如下表：| 每天揽收快递件数（百件） | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
| 每件快递的平均成本（元） | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 |
方程甲：
，方程乙：.①为了评价两种模型的拟合效果，根据上表数据和相应回归方程，将以下表格填写完整（结果保留一位小数），分别计算模型甲与模型乙的残差平方和
，，并依此判断哪个模型的拟合效果更好（备注：称为相应于点的残差，残差平方和；| 每天揽收快递件数/百件 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
| 每天快递的平均成本/元 | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 | |
| 模型甲 | 预报值 | 5.2 | 5.0 | 4.8 | ||
残差 |  | 0.2 | 0.4 | |||
| 模型乙 | 预报值 | 5.5 | 4.8 | 4.5 | ||
| 预报值 |  | 0 | 0.1 | |||
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2020-06-25更新
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458次组卷
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2卷引用：福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟试题
5 . 某市一农产品近六年的产量统计如下表：
观察表中数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系.
（1）根据表中数据，将以下表格空白部分的数据填写完整，并建立关于的线性回归方程
；
（2）若在2025年之前该农产品每千克的价格
（单位：元）与年产量满足的关系式为
，且每年该农产品都能全部销售.预测在2013～2025年之间，某市该农产品的销售额
在哪一年达到最大.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
| 年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 年产量（千吨） | 5.1 | 5.3 | 5.6 | 5.5 | 6.0 | 6.1 |
与的关系.（1）根据表中数据，将以下表格空白部分的数据填写完整，并建立
关于的线性回归方程； |  |  |  |  |  | 总和 | 均值 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| 5.1 | 5.3 | 5.6 | 5.5 | 6.0 | 6.1 | ||
 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | ||
 | 5.1 | 10.6 | 16.8 | 22 | 30 | 36.6 | 121.1 |
（单位：元）与年产量满足的关系式为，且每年该农产品都能全部销售.预测在2013～2025年之间，某市该农产品的销售额在哪一年达到最大.附：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
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名校
6 . 2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．
某读书APP抽样调查了非一线城市M和一线城市N各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．
（1）请填写以下
列联表，并判断是否有99．5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？
（2）以频率估计概率，从城市M中任选2名用户，从城市N中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为
，求的分布列和数学期望．
（3）该读书APP还统计了2018年4个季度的用户使用时长y（单位：百万小时），发现y与季度（）线性相关，得到回归直线为
，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（
）该读书APP用户使用时长约为多少百万小时．
附：
，其中
．
某读书APP抽样调查了非一线城市M和一线城市N各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．
（1）请填写以下
列联表，并判断是否有99．5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？| 活跃用户 | 不活跃用户 | 合计 | |
| 城市M | |||
| 城市N | |||
| 合计 |
，求的分布列和数学期望．（3）该读书APP还统计了2018年4个季度的用户使用时长y（单位：百万小时），发现y与季度（
）线性相关，得到回归直线为，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（）该读书APP用户使用时长约为多少百万小时．附：
，其中． | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2019-05-07更新
|
2107次组卷
|
6卷引用：【市级联考】福建省泉州市2019届高三第二次（5月）质检数学理试题
7 . 随着经济的发展，某地最近几年某商品的需求量逐年上升.下表为部分统计数据：
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令
，
.
（1）填写下列表格并求出关于
的线性回归方程：
（2）根据所求的线性回归方程，预测到
年年底，某地对该商品的需求量是多少？
（附：线性回归方程
，其中
，
）
年份 |
|
|
|
|
|
需求量 |
|
|
|
|
|
，.（1）填写下列表格并求出
关于的线性回归方程：时间代号 | |||||
|
年年底，某地对该商品的需求量是多少？（附：线性回归方程
，其中，）
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名校
解题方法
8 . 在一段时间内，分5次调查，得到某种商品的价格(万元)和需求量
之间的一组数据为：
线性回归方程系数公式：b
，
．
(1)画出散点图；
(2)求出关于的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)若价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到
)．
(万元)和需求量之间的一组数据为：1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
价格 | 1.4 | 1.6 | 1.8 | 2 | 2.2 |
需求量 | 12 | 10 | 7 | 5 | 3 |
，．(1)画出散点图；
(2)求出
关于的线性回归方程y＝bx＋a；(3)若价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到
)．
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2022-03-24更新
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105次组卷
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3卷引用：福建省三明市尤溪县第五中学等两校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题
名校
9 . 某省电视台为了了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东，西部各5个城市，得到观看节目的人数的统计数据（单位：千人），并画出如下的茎叶图，其中一个数字被污损.
(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众人数的平均人数的概率；
(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了如下对照表：
根据表中数据，试求回归方程y=
+
，并预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间.
参考公式：
(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众人数的平均人数的概率；
(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了如下对照表：
| 年龄（岁） | 20 | 30 | 40 | 50 |
周均学习成语知识时间 小时 |  | 3 | 4 |  |
+，并预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间.参考公式：
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名校
解题方法
10 . 通过市场调查，得到某种产品的资金投入（单位：万元）与获得的利润（单位：万元）的数据，如下表所示：
（1）在下图中，画出数据对应的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；
（3）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？
参考公式：
，
.
（单位：万元）与获得的利润（单位：万元）的数据，如下表所示：资金投入 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
利润 | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程
；（3）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？
参考公式：
，.
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2020-12-08更新
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786次组卷
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2卷引用：福建省厦门海沧实验中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题
