名校
1 . 树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为
，其平均数记为
，方差记为
；把第二层样本记为
，其平均数记为
，方差记为
；把总样本数据的平均数记为
，方差记为
．
(1)证明：
；
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布
，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为
和
的估计值．如果按照
的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为
四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．
附：
．
| 性别 | 参加考试人数 | 平均成绩 | 标准差 |
| 男 | 30 | 100 | 16 |
| 女 | 20 | 90 | 19 |
，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．(1)证明：
；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布
，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：
．
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2024-05-12更新
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1427次组卷
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2卷引用：安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷
名校
2 . （1）设数据
，
，
，…，
的均值为
，方差为
，请利用已经学过的方差公式：
来证明方差第二公式：
；
（2）已知
，
，，，，…，的方差为
，其中
．
，
，…，
，
，
，
，
，…，
的方差为
．比较与大小，并说明理由．
，，，…，的均值为，方差为，请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式：；（2）已知
，，，，，…，的方差为，其中．，，…，，，，，，…，的方差为．比较与大小，并说明理由．
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2023-06-09更新
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170次组卷
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4卷引用：上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
上海市新中高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题11统计 （6个知识点10种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）（已下线）第13章 统计（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）（已下线）13.5 统计估计(三大题型)（分层练习）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）
名校
解题方法
3 . 某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量
（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：
若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题.
(1)求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；
(2)在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000.
（i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，，；
，，，记总的样本平均数为
，样本方差为.证明：
.
（ii）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差.
（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图： 若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题.
(1)求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；
(2)在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000.
（i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为.证明：.（ii）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差.
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2023-07-13更新
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263次组卷
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2卷引用：福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题
解题方法
4 . 北京2022年冬奥会、向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50，60）的概率；
(2)从参加体育实践活动时间在[80，90）和[90，100）的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为μ0，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为μ1，μ2，当m满足什么条件时，μ0≥
．（结论不要求证明）
时间人数类别 | [0，50） | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100 | |
性别 | 男 | 5 | 12 | 13 | 8 | 9 | 8 |
女 | 6 | 9 | 10 | 10 | 6 | 4 | |
学段 | 初中 | 10 | |||||
高中 | m | 13 | 12 | 7 | 5 | 4 | |
(2)从参加体育实践活动时间在[80，90）和[90，100）的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为μ0，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为μ1，μ2，当m满足什么条件时，μ0≥
．（结论不要求证明）
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5 . 已知数据
的平均数为，方差为；数据
的平均数为，方差为．
(1)求
的值；
(2)若将这两组数据合并成一组新数据
，其平均数为，证明：
，并写出
的表达式，不需要证明．
的平均数为，方差为；数据的平均数为，方差为．(1)求
的值；(2)若将这两组数据合并成一组新数据
，其平均数为，证明：，并写出的表达式，不需要证明．
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名校
解题方法
6 . 为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：
利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值.
(1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台，设该台机器的利润为X万元，求X的分布列和数学期望；
(2)从该公司本月卖出的机器中随机选取2台，设这2台机器的利润和恰好为13万元的概率；
(3)假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利
万元，销售一台第二类机器获利
万元，…，销售一台第五类机器获利
万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为
，设
，试判断与的大小.（结论不要求证明）
| 机器类型 | 第一类 | 第二类 | 第三类 | 第四类 | 第五类 |
| 销售总额（万元） | 100 | 50 | 200 | 200 | 120 |
| 销售量（台） | 5 | 2 | 10 | 5 | 8 |
| 利润率 | 0.4 | 0.2 | 0.15 | 0.25 | 0.2 |
(1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台，设该台机器的利润为X万元，求X的分布列和数学期望；
(2)从该公司本月卖出的机器中随机选取2台，设这2台机器的利润和恰好为13万元的概率；
(3)假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利
万元，销售一台第二类机器获利万元，…，销售一台第五类机器获利万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为，设，试判断与的大小.（结论不要求证明）
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解题方法
7 . 随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了
名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了
个区间：
、
、
、
、
、
，整理得到如下频率分布直方图：
(1)求图1中
的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值
及方差
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为
，样本方差为，证明：
①
；
②
．
名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：(1)求图1中
的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值
及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为
、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：①
；②
．
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8 . 某样本由
个数组成，平均数为，方差为．这个样本可分为两层：第一层有m个数，分别为，，…，
，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为
，
，…，
，平均数为，方差为．
(1)证明：
；
(2)证明：
，
；
(3)证明：
．
个数组成，平均数为，方差为．这个样本可分为两层：第一层有m个数，分别为，，…，，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为，，…，，平均数为，方差为．(1)证明：
；(2)证明：
，；(3)证明：
．
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名校
9 . 某公司为了解用户对其产品的满意程度，采用分层抽样的方法从A，B两个地区共抽取了500名用户，请用户根据满意程度对该公司品评分，该公司将收集到的数据按照
，
，
，
分组，绘制成评分频率分布直方图如下：
已知A地区用户约为40000人，B地区用户约为10000人．
（1）求该公司采用分层抽样的方法从A，B两个地区分别抽取的用户人数；
（2）根据频率分布直分图，估计B地区所有用户中，对该产品评分不低于80分的用户的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为
，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为
，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为
，试比较和的大小．（结论不要求证明）
，，，分组，绘制成评分频率分布直方图如下：已知A地区用户约为40000人，B地区用户约为10000人．
（1）求该公司采用分层抽样的方法从A，B两个地区分别抽取的用户人数；
（2）根据频率分布直分图，估计B地区所有用户中，对该产品评分不低于80分的用户的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为
，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
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2021-07-18更新
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483次组卷
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3卷引用：北京市第十二中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
北京市第十二中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题福建省泉州市培元中学2021-2022学年高一下学期阶段性测试（期中）数学试题（已下线）一轮复习适应训练卷（5）-2022年暑假高二升高三数学一轮复习适应训练卷 全国通用
10 . 为了解某校学生的体育锻炼情况，现采用随机抽样的方式从该校的
，
两个年级中各抽取6名学生进行体育水平测试测试，得分如下（满分100分） ：
年级6名学生的体育测试得分分别为：73，62，86，78，91，84.
年级6名学生的体育测试得分分别为：92，61，85，87，77，72.
已知在体育测试中，将得分大于84分的学生记为体育水平优秀.
（Ⅰ）分别估计，两个年级的学生体育水平优秀的概率；
（Ⅱ）从，两个年级分别随机抽取2名学生，估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率；
（Ⅲ）记，两个年级6名样本学生体育测试得分数据的方差分别为
，
，试比较与的大小.（结论不要求证明）
，两个年级中各抽取6名学生进行体育水平测试测试，得分如下（满分100分） ：年级6名学生的体育测试得分分别为：73，62，86，78，91，84.年级6名学生的体育测试得分分别为：92，61，85，87，77，72.已知在体育测试中，将得分大于84分的学生记为体育水平优秀.
（Ⅰ）分别估计
，两个年级的学生体育水平优秀的概率；（Ⅱ）从
，两个年级分别随机抽取2名学生，估计这4名学生中至少有2人体育水平优秀的概率；（Ⅲ）记
，两个年级6名样本学生体育测试得分数据的方差分别为，，试比较与的大小.（结论不要求证明）
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2020-10-23更新
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250次组卷
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2卷引用：北京市2021届高三入学定位考试数学试题
