名校
1 . 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
(1)依据
的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第
次传球后球在甲手中的概率.
附：
| 性别 | 锻炼 | |
| 不经常 | 经常 | |
| 女生 | 40 | 60 |
| 男生 | 20 | 80 |
的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第
次传球后球在甲手中的概率.附：
 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2022-12-07更新
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4184次组卷
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15卷引用：湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(四)数学试题
湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(四)数学试题江西省九江市第七中学2024届高三上学期12月学情诊断数学试题重庆市十八中两江实验中学校2023届高三上学期第一次全真模拟数学试题2023年江苏省苏州市高考模拟数学试题（二）（已下线）专题10 概率与统计的综合运用（精讲精练）-2江苏省南京市第一中学2023届高三下学期2月期初考试数学试题（已下线）专题11-2 概率与分布列大题归类-1（已下线）模块十 计数原理与统计概率-2（已下线）大题强化训练（10）（已下线）9.2独立性检验(2)（已下线）模块八 专题10 以概率与统计为背景的压轴大题（已下线）模块六 专题5易错题目重组卷（江苏卷）广东省揭阳市揭东区2024届高三上学期期中数学试题专题17列联表与独立性检验（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（3）
名校
2 . 教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定，某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记
为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；
为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.
(1)求表中
、
的值，并补全表中所缺数据，运用独立性检验思想，判断是否有
的把握认为中学生使用手机对学习有影响?
(2)以这80个同学中不使用手机且成绩优秀人数的频率作为相应概率，从该校随机抽取3位同学，不使用手机且成绩优秀的人数期望为？
参考数据：
，其中
.
为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.(1)求表中
、的值，并补全表中所缺数据，运用独立性检验思想，判断是否有的把握认为中学生使用手机对学习有影响?(2)以这80个同学中不使用手机且成绩优秀人数的频率作为相应概率，从该校随机抽取3位同学，不使用手机且成绩优秀的人数期望为？
| 不使用手机 | 使用手机 | 合计 | |
| 学习成绩优秀人数 | | 12 | |
| 学习成绩不优秀人数 | | 26 | |
| 合计 |
，其中. | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
3 . 某城市为了了解高中生的身高情况，从某次全市高中生体检中抽取了一所学校的n名学生的身高数据，整理分组成区间
，单位：厘米，并画出了频率分布直方图如右，已知从左到右前三个小组频率之比为2：3：4，其中第二小组有15人.
(1)求样本频数n的值；
(2)以此校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市所有高中学生（人数很多）中任选三人，设
表示身高超过160厘米的学生人数，求的分布列及期望；
(3)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查.数据如下表：
试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.
附：
，单位：厘米，并画出了频率分布直方图如右，已知从左到右前三个小组频率之比为2：3：4，其中第二小组有15人.(1)求样本频数n的值；
(2)以此校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市所有高中学生（人数很多）中任选三人，设
表示身高超过160厘米的学生人数，求的分布列及期望；(3)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查.数据如下表：
| 认为作业多 | 认为作业不多 | 合计 | |
| 喜欢玩游戏 | 18 | 9 | 27 |
| 不喜欢玩游戏 | 8 | 15 | 23 |
| 合计 | 26 | 24 | 50 |
附：
|  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
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名校
4 . 2022年卡塔尔世界杯将于当地时间11月20日开赛，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
(1)根据小概率值
的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？
(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋､中场､后卫三个位置，且出场率分别为：0.2，0.5，0.3；在甲出任前锋､中场､后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则：
①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；
②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？
附表及公式：
.
| 甲 | 球队 | 总计 | |
| 胜 | 负 | ||
| 未参加比赛 | 30 | | 70 |
| 参加比赛 |  | 10 |  |
| 总计 | 70 |  | |
的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？(2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋､中场､后卫三个位置，且出场率分别为：0.2，0.5，0.3；在甲出任前锋､中场､后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则：
①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；
②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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名校
解题方法
5 . 奥密克戎BA.5变异毒株的潜伏期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表：
(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均值
．
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300 人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关．
(3)为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为
且相互独立，若当
时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求
．
附：
，其中
潜伏期：（单位：天） |
|
|
|
|
|
|
|
人数 | 80 | 210 | 310 | 250 | 130 | 15 | 5 |
．(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300 人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关．
潜伏期 | 潜伏期 | 总计 | |
50岁以上（含50） | 150 | ||
50岁以下 | 85 | ||
总计 | 300 |
天
天且相互独立，若当时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求．附：
，其中
|
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|
|
|
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2022-10-19更新
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448次组卷
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4卷引用：湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年高三上学期第五次月考数学试题
6 . 伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有
是“年轻人”.
(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方
列联表，并判断依据小概率值
的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；
临界值表：
(2)将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.
①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”,再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；
②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.
若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有
是“年轻人”.(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方
列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；| 类别 | 年轻人 | 非年轻人 | 合计 |
| 健身达人 | |||
| 健身爱好者 | |||
| 合计 | 100 |
 |  |  | | |
 |  |  | | |
(2)将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.
①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”,再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；
②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.
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2022-10-11更新
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990次组卷
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6卷引用：湖南省岳阳地区2023届高三上学期适应性考试数学试题
湖南省岳阳地区2023届高三上学期适应性考试数学试题（已下线）专题52 统计案例-2重庆市凤鸣山中学教育集团2023届高三上学期期中数学试题（已下线）第34节 统计（已下线）专题10-2 概率统计（解答题）-1（已下线）专题26 概率综合问题（分布列）（解答题）（理科）-2
名校
7 . 某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产. 在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.
(1)在试产初期，该款芯片的批次
生产前三道工序的次品率分别为
.
①求批次芯片的次品率
；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰， 合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验. 已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为98%， 求工人在流水线进行人工抽检时， 抽检一个芯片恰为合格品的概率；
(2)该企业改进生产工艺后生产了批次
的芯片. 某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用. 现对使用 这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查. 据统计，回访的100名用户中，安装批次有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次有60部，其中对开机速度满意的有58人. 依据
的独立性检验， 能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关?
附：
(1)在试产初期，该款芯片的批次
生产前三道工序的次品率分别为.①求批次
芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰， 合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验. 已知批次
的芯片智能自动检测显示合格率为98%， 求工人在流水线进行人工抽检时， 抽检一个芯片恰为合格品的概率；(2)该企业改进生产工艺后生产了批次
的芯片. 某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用. 现对使用 这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查. 据统计，回访的100名用户中，安装批次有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次有60部，其中对开机速度满意的有58人. 依据的独立性检验， 能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关?附：
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2022-10-07更新
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1097次组卷
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6卷引用：湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题
湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学试题广东省广州市第十六中学2023届高三上学期12月模拟数学试题（已下线）第09讲 第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布（基础拿分卷）河北省衡水中学2023届高三六调数学试题湖北省咸宁鲁迅学校2023届高三下学期5月月考数学试题（已下线）艺体生一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第50讲 独立性检验【练】
8 . 世卫组织近日表示，Delta毒株已扩散至92个国家和地区．这让某国某州的医疗一度濒临崩溃．某国卫生与公共服务部数据显示，在6月23日至7月7日的两周里，该州新冠肺炎确诊病例数新增
，平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例人数高居全国首位．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家120个接种与未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：
(1)是否有的把握认为密切接触者感染Delta病毒与未接种新冠疫苗有关；
(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染Delta病毒的频率估计概率．现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta病毒人数统计，求其中至少有2人感染Delta病毒的概率；
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行Delta病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为
且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为
．求当p为何值时，最大？
附：．
，平均每周增长1111个病例数，每周人均感染病例人数高居全国首位．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家120个接种与未接种新冠疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种新冠疫苗与否/人数 | 感染Delta病毒 | 未感染Delta病毒 |
未接种新冠疫苗 | 20 | 30 |
接种新冠疫苗 | 10 | 60 |
的把握认为密切接触者感染Delta病毒与未接种新冠疫苗有关；(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染Delta病毒的频率估计概率．现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染Delta病毒人数统计，求其中至少有2人感染Delta病毒的概率；
(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行Delta病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为
且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为．求当p为何值时，最大？附：
． | 0.1 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
9 . 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按
，
，
，
，
分组，绘制频率分布直方图如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只．假设小白鼠注射痕苗后是否产生抗体相互独立．
(1)填写下面的
列联表，并根据列联表及
的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．
单位：只
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体．
①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当
时，
取最大值，求参加人体接种试验的人数n及
．
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只．假设小白鼠注射痕苗后是否产生抗体相互独立．(1)填写下面的
列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．单位：只
| 抗体 | 指标值 | 合计 | |
| 小于60 | 不小于60 | ||
| 有抗体 | |||
| 没有抗体 | |||
| 合计 | |||
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体．
①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当
时，取最大值，求参加人体接种试验的人数n及．参考公式：
（其中为样本容量）参考数据：
 | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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2022-09-29更新
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836次组卷
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3卷引用：湖南师范大学附属中学2023届高三上学期第二次月考数学试题
名校
10 . 下列命题正确的是（ ）
A．若甲､乙两组数据的相关系数分别为 和 ，则乙组数据的线性相关性更强 |
B．已知样本数据 的方差为4，则 的标准差是4 |
C．在检验与是否有关的过程中，根据所得数据算得 ，已知 ，则有 的把握认为和有关 |
D．对具有线性相关关系的变量 ，有一组观测数据 ，其线性回归方程是 ，且 ，则实数 的值是 |
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2022-08-31更新
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742次组卷
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3卷引用：湖南省衡阳市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题
