1 . 我们称各项均不相等的正项数列为“冒泡数列”,对任意冒泡数列,我们按如下步骤进行操作,称为“冒泡操作”
比较的大小,若,则交换的位置;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,若,再交换;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,,直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置,并进行下一步;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,…,直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作.
(1)请对数列5,3,2,9,7作冒泡操作,可表示为请写出操作结束后得到的数列,并计算交换位置的次数.
(2)对于某个项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”,记为
(i)求的最小值和最大值;
(ii)对于某个项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列,其交换复杂度的平均数记为,求的通项.
比较的大小,若,则交换的位置;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,若,再交换;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,,直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置,并进行下一步;
设前述所有步骤后数列变为,比较的大小,若,则交换的位置,再继续比较的大小,…,直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作.
(1)请对数列5,3,2,9,7作冒泡操作,可表示为请写出操作结束后得到的数列,并计算交换位置的次数.
(2)对于某个项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”,记为
(i)求的最小值和最大值;
(ii)对于某个项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列,其交换复杂度的平均数记为,求的通项.
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2 . 如图所示数阵,第行共有个数,第m行的第1个数为,第2个数为,第个数为,规定:.
…… … … … … …
(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系,并证明你的结论;
(2)求证:每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数;
(3)从第1行起,每一行最后一个数依次构成数列,设数列的前n项和为是否存在正整数k,使得对任意正整数n,恒成立?如存在,请求出k的最大值,如不存在,请说明理由.
…… … … … … …
(1)试判断每一行的最后两个数的大小关系,并证明你的结论;
(2)求证:每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数;
(3)从第1行起,每一行最后一个数依次构成数列,设数列的前n项和为是否存在正整数k,使得对任意正整数n,恒成立?如存在,请求出k的最大值,如不存在,请说明理由.
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3 . (1)求的值;
(2)若等式成立,求正整数的值.
(2)若等式成立,求正整数的值.
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解题方法
4 . (1)计算;
(2)已知,求的值.
(2)已知,求的值.
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5 . 化简求值.
(1)
(2)
(1)
(2)
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名校
6 . 斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、…,在数学上,斐波那契数列以如下递推的方式定义:,,(,),已知,则集合A中的元素个数可表示为,又有且.
(1)求集合A中奇数元素的个数,不需说明理由;并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率;
(2)求集合B中所有元素之和为奇数的概率.
(3)取其中的6个数1,2,3,5,13,21,任意排列,若任意相邻三数之和都不能被3整除,求这样的排列的个数.(如排列1,2,3,5,13,21中,相邻三数如“1,2,3”(“3,5,13”、“5,13,21”),和能被3整除,则此排列不合题意)
(1)求集合A中奇数元素的个数,不需说明理由;并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率;
(2)求集合B中所有元素之和为奇数的概率.
(3)取其中的6个数1,2,3,5,13,21,任意排列,若任意相邻三数之和都不能被3整除,求这样的排列的个数.(如排列1,2,3,5,13,21中,相邻三数如“1,2,3”(“3,5,13”、“5,13,21”),和能被3整除,则此排列不合题意)
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名校
解题方法
7 . 已知数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)若且,记,讨论数列的单调性.
(1)求的通项公式;
(2)若且,记,讨论数列的单调性.
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8 . (1)求值:
(2)解方程:
(2)解方程:
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9 . (1)已知,计算:;
(2)解方程:.
(3)解不等式:.
(2)解方程:.
(3)解不等式:.
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