1 . 求证：.

2 . 请证明下列等式：
(1)；
(2)；
(3)．

3 . 求证：．

4 . （1）证明：；
（2）计算：.

5 . （1）计算：；
（2）证明：.

6 . 已知，其中，，，．
（1）试求f₁（x），f₂（x），f₃（x）的值；
（2）试猜测f_n（x）关于n的表达式，并证明你的结论.

7 . 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．
第0行                              1
第1行                            1   1
第2行                           1   2   1
第3行                         1   3   3   1
第4行                       1   4   6   4   1
第5行                    1   5   10   10   5   1
第6行                 1   6   15   20   15   6   1
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（2）已知n，r为正整数，且，求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列．

8 . 在杨辉三角中，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示.已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数，，，不存在，.

9 . （1）已知：及，（，，．求；（结果用，表示）
（2）已知，．猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论．

10 . 如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第层的第个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为．

（1）求，，的值；
（2）猜想的表达式（不必证明），并求不等式的解集．