名校
1 . 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：
，
，
，
，
，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)补全频率分布直方图，若只有
的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有
，
，
，
，
五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为
，
，
，
，
；乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为
，，，
，
；丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为
，，，，
；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，
，
．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，若只有
的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；(2)采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
(3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有
，，，，五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，，．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
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2023-11-03更新
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394次组卷
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2卷引用：四川省成都市彭州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
2023·河北·一模
解题方法
2 . 为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为
.
(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列
列联表；
(2)依据小概率值
的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？
附：
，
.
，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为.(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列
列联表；支持养宠物 | 不支持养宠物 | 合计 | |
男职工 | |||
女职工 | |||
合计 | 450 |
的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？附：
，.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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名校
解题方法
3 . 设，为两个随机事件，
①若，是互斥事件
，
，则
；
②若，是对立事件，则
；
③若，是独立事件，，
，则
；
④若
，
，且
，则，是独立事件.
以上命题正确的序号为______ .（填写序号）
，为两个随机事件，①若
，是互斥事件，，则；②若
，是对立事件，则；③若
，是独立事件，，，则；④若
，，且，则，是独立事件.以上命题正确的序号为
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4 . 已知随机事件
发生的概率满足
，小华猜测事件
会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判断中正确的是___________ .（请填写序号）
①小华一定猜错；
②小华和小明猜对的可能性一样大；
③小明猜对的可能性更大；
④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大.
发生的概率满足，小华猜测事件会发生，小明猜测事件不会发生；则以下判断中正确的是①小华一定猜错；
②小华和小明猜对的可能性一样大；
③小明猜对的可能性更大；
④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大.
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名校
5 . 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按
，
，
，
，
分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
单位：只
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率
；
（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记
个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量
.试验后统计数据显示，当
时，
取最大值，求参加人体接种试验的人数及
.
参考公式：
(其中为样本容量)
参考数据：
，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的
列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只
抗体 | 指标值 | 合计 | |
小于60 | 不小于60 | ||
有抗体 | |||
没有抗体 | |||
合计 | |||
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率
；（ii）以（i）中确定的概率
作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.参考公式：
(其中为样本容量)参考数据：
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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2021-09-19更新
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3593次组卷
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14卷引用：福建省晋江市子江中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题
福建省晋江市子江中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题江西省南昌市第五中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题专题17列联表与独立性检验（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（3）卓越高中千校联盟2020届高考理科数学终极押题卷江苏省常州市前黄高级中学2021届高三下学期学情检测(一)数学试题人教A版(2019) 选修第三册 突围者 第八章 高考挑战（已下线）8.7 均值与方差在生活中的运用（精练）-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）（已下线）2020年高考全国3数学文高考真题变式题16-20题（已下线）2020年高考全国3数学理高考真题变式题16-20题（已下线）第48讲 统计案例-2022年新高考数学二轮专题突破精练（已下线）第51讲 概率与统计综合问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练湖北省新高考协作体2022-2023学年高三上学期起点考试数学试题福建省福州第八中学2023届高三上学期第二次质量检测数学试题
名校
解题方法
6 . 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．
（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
参考公式：
，其中
参考数据：
（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
甲班 | 乙班 | 合计 | |
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
，其中参考数据：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2019-05-20更新
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884次组卷
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12卷引用：2015-2016学年西藏林芝市高二下学期期末数学（理）试卷
2015-2016学年西藏林芝市高二下学期期末数学（理）试卷广东省中山市第一中学2016-2017学年高二下学期第二次段考（5月）数学（文）试题2018-2019学年高中数学选修2-3人教版练习：模块综合评价(一)（已下线）2019年5月25日 《每日一题》理数选修2-3-周末培优四川省广安市岳池县第一中学2019-2020学年高二6月月考数学（理）试题2016届辽宁省大连师大附中高三下学期精品文科数学试卷2017届福建南平浦城县高三文上学期期中数学试卷陕西省宝鸡市金台区2018届高三上学期期中教学质量检测数学文试题高中数学人教A版选修2-3 综合复习与测试（2）【全国百强校】四川省棠湖中学2019届高三二诊模拟数学（理）试题【全国百强校】四川省成都市棠湖中学2019届高三二诊模拟数学（文）试题2020届宁夏平罗中学高三上学期第一次月考数学（理）试题
名校
7 . 下列结论：
（1）若
，则“
”成立的一个必要不充分条件是“
，且
”；
（2）存在
，且存在
使得
；
（3）若函数
的导函数是奇函数，则实数
；
（4）平面上的动点
到定点
的距离比到
轴的距离大
的点的轨迹方程为
；
（5）已知平面
满足
，则
；
（6）若
，则事件 与 是对立事件.
其中正确结论的序号为__________ ．(填写所有正确的结论序号）
（1）若
，则“”成立的一个必要不充分条件是“，且”； （2）存在
，且存在使得；（3）若函数
的导函数是奇函数，则实数；（4）平面上的动点
到定点的距离比到轴的距离大的点的轨迹方程为； （5）已知平面
满足，则； （6）若
，则事件 与 是对立事件.其中正确结论的序号为
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解题方法
8 . 随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式，某机构对使用微信交流的态度进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及对使用微信交流赞成人数如表：
(1)由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；
(2)若对年龄分别在
，
的被调查人中各抽取一人进行追踪调查，求选中的2人中至少有一人赞成使用微信交流的概率.
参考公式：
，其中
参考数据：
| 年龄（岁） |  |  |  |  | | |
| 频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
| 赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
列联表，并判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异；| 年龄不低于45岁的人 | 年龄低于45岁的人 | 合计 | |
| 赞成 | |||
| 不赞成 | |||
| 合计 |
，的被调查人中各抽取一人进行追踪调查，求选中的2人中至少有一人赞成使用微信交流的概率.参考公式：
，其中参考数据：
 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2017-08-21更新
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96次组卷
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2卷引用：四川省眉山市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题
解题方法
9 . 已知3个元件
，
，
正常工作的概率分别为
，，，将它们中某2个元件并联后再和第3个元件串联后接入电路．
(1)在如图所示的一段电路中，求该电路是通路的概率；
(2)3个元件按要求连成怎样的一段电路时，才能使电路是通路的概率最大？请画出此时的电路图，并说明理由．
，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某2个元件并联后再和第3个元件串联后接入电路．(1)在如图所示的一段电路中，求该电路是通路的概率；
(2)3个元件按要求连成怎样的一段电路时，才能使电路是通路的概率最大？请画出此时的电路图，并说明理由．
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2022-08-12更新
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288次组卷
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2卷引用：2023版 北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第六章 第一节 课时1 随机事件的条件概率、乘法公式与事件的独立性
9-10高二下·江苏镇江·期末
10 . 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段
，
…
后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题
（1）求出物理成绩低于50分的学生人数
（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）
（3）从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.
，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题（1）求出物理成绩低于50分的学生人数
（2）估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）
（3）从物理成绩不及格的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率.
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