1 . 小明同学每星期一、二、四、五这4天,其中星期一、星期二天不交数学作业的概率均为,星期四、星期五不交数学作业的概率均为,假设他在这4天不交作业是独立的,X表示他不交作业的次数.
(1)若,小明作业成绩就不及格,求小明作业成绩及格的概率;
(2)求X的分布列并求,若交一次作业,成绩加10分;不交一次作业成绩扣5分,Y表示小明这周的作业成绩,求.
(1)若,小明作业成绩就不及格,求小明作业成绩及格的概率;
(2)求X的分布列并求,若交一次作业,成绩加10分;不交一次作业成绩扣5分,Y表示小明这周的作业成绩,求.
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解题方法
2 . 盒中装有大小相同的7个小球,其中2个黑球,3个红球,2个白球.规定:取到1个黑球得0分,取到1个红球得1分,取到1个白球得2分.现一次性从盒中任取3个小球.
(1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率;
(2)用随机变量表示取出的3个小球得分之和,求的分布列.
(1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率;
(2)用随机变量表示取出的3个小球得分之和,求的分布列.
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3 . 近日,市流感频发,主要以型流感为主,据疾控中心调查,全市患病率为5%.某单位为加强防治,通过验血筛查患型流感的员工.已知该单位共有5000名员工,专家建议随机地按(且为5000的正因数)人一组分组,然后将各组个人的血样混合再化验.如果混管血样呈阴性,说明这个人全部阴性,其中每个人记作化验次;如果混管血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就要对该组每个人再分别化验一次.设每个人平均化验次.
(1)若,求和均值;
(2)若按全市患病率估计,试比较与时哪一种情况下化验总次数更少.
(参考数据:,,)
(1)若,求和均值;
(2)若按全市患病率估计,试比较与时哪一种情况下化验总次数更少.
(参考数据:,,)
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名校
4 . 为了解并普及人工智能相关知识、发展青少年科技创新能力,某中学开展了“科技改变生活”人工智能知识竞赛,竞赛试题有甲、乙、丙三类(每类有若干道题),各类试题的分值及小明答对的概率如表所示,每道题回答正确得到相应分值,否则得0分,竞赛分三轮,每轮回答一道题,依次进行,每轮得分之和即为参赛选手的总得分.
小明参加竞赛,有两种方案可以选择:
方案一:回答三道乙类题;
方案二:第一轮在甲类题中选择一道作答,若正确,则进入第二轮答题;若错误,继续回答另一道甲类题,该题回答正确,进入第二轮答题,否则退出比赛;第二轮在丙类题中选择一道作答,若正确,则进入第三轮答题,否则退出比赛;第三轮在乙类题中选择一道作答.
(1)方案一中,在小明至少答对2道乙类题的条件下,求小明恰好答对2道乙类题的概率;
(2)为使总得分的数学期望最大,小明应选择哪一种方案?并说明理由.
甲类题 | 乙类题 | 丙类题 | |
每题分值 | 10 | 20 | 40 |
每题答对概率 |
方案一:回答三道乙类题;
方案二:第一轮在甲类题中选择一道作答,若正确,则进入第二轮答题;若错误,继续回答另一道甲类题,该题回答正确,进入第二轮答题,否则退出比赛;第二轮在丙类题中选择一道作答,若正确,则进入第三轮答题,否则退出比赛;第三轮在乙类题中选择一道作答.
(1)方案一中,在小明至少答对2道乙类题的条件下,求小明恰好答对2道乙类题的概率;
(2)为使总得分的数学期望最大,小明应选择哪一种方案?并说明理由.
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名校
5 . 为了解某地区居民每户月均用电情况,采用随机抽样的方式,从该地区随机调查了100户居民,获得了他们每户月均用电量的数据,发现每户月均用电量都在之间,进行适当分组后(每组为左闭右开区间),得到如下频率分布直方图:(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组,第2组,…,第6组.从样本中第1组和第2组中,任取2户,求他们月均用电量都不低于的概率;
(2)从该地区全体居民中随机抽取3户,设月均用电量在之间的用户数为,以样本的频率估计总体的概率,求的分布列和数学期望;
(3)用图中数据估计该地区全体用户的月均用电量.有人估计该地区全体用户的月均用电量低于.请分析这一估计是否正确,说明理由.
(2)从该地区全体居民中随机抽取3户,设月均用电量在之间的用户数为,以样本的频率估计总体的概率,求的分布列和数学期望;
(3)用图中数据估计该地区全体用户的月均用电量.有人估计该地区全体用户的月均用电量低于.请分析这一估计是否正确,说明理由.
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6 . 激光的单光子通讯过程可用如下模型表述:发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送,在信息传输过程中,若存在窃听者,由于密码本的缺失,窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.
某次实验中,假设原始信息的单光子的偏振状态0,1,2,3等可能地出现,原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.
已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态,对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.
(1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1,求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率;
(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1,设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为,求的分布列和数学期望;
(3)已知发送者连续三次发送信息,窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为,有两种偏振状态的可能性为,有三种偏振状态的可能性为,试比较的大小关系.(结论不要求证明)
某次实验中,假设原始信息的单光子的偏振状态0,1,2,3等可能地出现,原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.
原始信息的单光子的偏振状态 | 0 | 1 | 2 | 3 |
解密信息的单光子的偏振状态 | 0,1,2 | 0,1,3 | 1,2,3 | 0,2,3 |
(1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1,求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率;
(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1,设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为,求的分布列和数学期望;
(3)已知发送者连续三次发送信息,窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为,有两种偏振状态的可能性为,有三种偏振状态的可能性为,试比较的大小关系.(结论不要求证明)
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名校
7 . 夏辰广场乒乓球场上,乒乓飞舞,明星老师带领班上同学组织班内友谊比赛,拿过来一盘乒乓球,盒中有大小颜色相同的6个乒乓球,其中4个未使用过(称之为新球),2个使用过(称之为旧球),每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球,该局比赛结束后放回盒中使用过的球即成为旧球.
(1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率;
(2)设三局比赛后盒中新球的个数为,求的分布列.
(1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率;
(2)设三局比赛后盒中新球的个数为,求的分布列.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
8 . 近年来,汽车智能化自动化方向发展迅速,某地区举办了面向中学生的智能小车大赛,其中初赛为自动循迹小车比赛,要求参赛小车能在指定赛道按规则成功到达目标地将晋级下一轮.赛道如图所示,图中每个点表示一个路口且相邻路口的道路长.点为小车的出发地,最下方五个点都是目标地,规则为:①小车等可能的选择右下,左下或水平路线行进;②沿水平道路行驶到下一个路口后必须选择右下或左下的路线行进.(1)求小车行驶到达目标地的概率;
(2)若云槐中学代表队成功晋级,设其参赛小车行驶的距离为,求的分布列和数学期望.
(2)若云槐中学代表队成功晋级,设其参赛小车行驶的距离为,求的分布列和数学期望.
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解题方法
9 . 一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券,每张奖券奖励饮料一瓶,小明从中任取2瓶,
(1)小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率;
(2)若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换,兑换时随机选取箱中剩余的饮料,求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望.
(1)小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率;
(2)若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换,兑换时随机选取箱中剩余的饮料,求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望.
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名校
解题方法
10 . 京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义,是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式,有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃,则每个京剧脸谱娃娃售价54元,可选定款式;若盲盒购买京剧脸谱娃娃,则每个盲盒售价27元,盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.
(1)甲采用盲盒购买的方式,每次购买一个盲盒并打开,若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式,则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数,求的分布列.
(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃(三种款式各一个),先购买盲盒,每次购买一个盲盒并打开(乙最多购买3个盲盒),若未集齐一套京剧脸谱娃娃,再直接购买没买到的款式,以购买费用的期望值为决策依据,问乙应购买多少个盲盒?
(1)甲采用盲盒购买的方式,每次购买一个盲盒并打开,若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式,则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数,求的分布列.
(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃(三种款式各一个),先购买盲盒,每次购买一个盲盒并打开(乙最多购买3个盲盒),若未集齐一套京剧脸谱娃娃,再直接购买没买到的款式,以购买费用的期望值为决策依据,问乙应购买多少个盲盒?
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