1 . 年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ 随机选一个选项   Ⅱ 随机选两个选项   Ⅲ 随机选三个选项．
若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好

2 . 为丰富第二课堂，拓展素质教育，某校鼓励学生参加书法兴趣小组和绘画兴趣小组，开展相关实践活动．该校共有3000名学生，为了解学生的参加情况，从全校学生中随机抽取150名学生进行调查，发现有5人没有参加兴趣小组，且样本中仅参加书法兴趣小组和仅参加绘画兴趣小组的学生每周投入时间情况如下表：

兴趣小组活动类别	投入时间（小时/周）
				大于10
仅参加书法兴趣小组人数z	25	30	15	10
仅参加绘画兴趣小组人数y	10	20	25	5

(1)用频率估计概率，试估计全校学生中书法兴趣小组和绘画兴趣小组都参加的人数；
(2)从仅参加书法兴趣小组和仅参加绘画兴趣小组的学生中各抽1人，以X表示2人中每周投入时间大于5小时的人数，求X的分布列和数学期望；
(3)根据公式计算仅参加书法兴趣小组和仅参加绘画兴趣小组的学生在各投入时间段人数的样本相关系数，并推断它们的相关程度，其中分别为仅参加书法兴趣小组的学生在各投入时间段人数的均值和标准差，分别为仅参加绘画兴趣小组的学生在各投入时间段人数的均值和标准差．
附：

相关系数r
相关程度	低度线性相关	显著性相关	高度线性相关

3 . 平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目．
(1)若，求的分布列；
(2)定义随机变量，当时，求的分布列与期望；
(3)当时，求的最小值，使得．
（参考公式：若，则）

4 . 甲、 乙两同学参加趣味数学对抗赛，比赛规则：两人轮流作答且每题仅一人作答，每答一次视为一轮比赛；答正确一方积分加2分，另一方积分加0分；答错误一方积分加0分，另一方积分加2分； 一方比另一方积分多6分或进行了7轮比赛，对抗赛结束； 结束时积分多者获胜. 已知甲、乙每次作答正确的概率都是 ，且每次作答是否正确相互独立.
(1)求甲恰在第5轮比赛后获胜的概率；
(2)设表示对抗赛结束时比赛进行轮数，求的分布列和数学期望 .

5 . 垃圾分类是普惠民生的一项重要国策．垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率．垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾．某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为等级和等级，随机抽取了100名学生作为样本进行调查．已知样本中等级的男生人数占总人数的，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽取1名学生，该生是等级男生的概率为．
(1)根据题意，完成下面的二维列联表．并根据小概率值独立性检验，判断学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关？

	男生	女生
等级
等级

附：

	0.05	0.025	0.01	0.005
	3.841	5.024	6.635	7.879

，其中．
(2)为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动．每局比赛由二人参加，主持人和轮流提问，先赢3局者获得第一名并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人提问甲赢的概率为，主持人提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．抽签决定第一局由主持人提问．
（i）求比赛只进行3局就结束的概率；
（ii）设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布列和数学期望．

6 . 2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛围．游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份．
(1)求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率；
(2)用随机变量X表示小明抽两次的得分总和，求X的分布列及期望．

7 . 党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升. 下表为重庆市 2014 2022 年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图 （如图 1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. （数据来源于重庆市统计局 2023-05-06 发布）.

年份	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022
全体居民人均可支配收入 （元）	18352	20110	22034	24153	26386	28920	30824	33803	35666

(1)设年份编号为（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到 0.01 ），并根据所求回归方程，预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入；
(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从20142022中任取3年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为，求随机变量的分布列与数学期望.
参考数据：.
参考公式: 对于一组数据 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为.

8 . 实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：

年份	2018	2019	2020	2021	2022	2023
编号x	1	2	3	4	5	6
产值y/百万辆	9	18	30	51	59	80

(1)若用模型拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程（精确到0.01）；
(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，
参考数据：，其中．
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率截距的最小二乘估计分别为．

9 . 某校为了解高三年级1000名学生对“高中语文必背篇目”的掌握情况，举行了一次“古诗文”测试．现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．若测试成绩低于平均分，则视为“不合格”，若测试成绩排名进入前，则可获得“优秀奖”．
   
(1)请根据样本数据，估计全年级的平均分和获得“优秀奖”的划线成绩；
(2)甲、乙、丙三位同学因测试结果不理想，组成互助学习小组，通过挑战游戏的方式加强练习，挑战游戏规则如下：游戏共有3轮，每轮由一位同学出一道“背诵”或“默写”题，另外两位同学同时独立答题，若两位同学都答对或两位同学都答错，原出题的同学继续出题，游戏进入下一轮；若两位同学中仅有一位同学答对，则答对的同学出下一道题，另两位同学作答，游戏进入下一轮．每答对一道“默写”题得10分，每答对一道“背诵”题得5分，答错和出题均不得分，第一轮由甲开始出题．现已知出题时，甲、乙、丙出“默写”题的概率分别为，当答题时，甲、乙、丙答对“背诵”题和“默写”题的概率如下表所示：

	甲	乙	丙
背诵
默写

①求第一轮结束时，乙的得分的分布列和期望；
②求第三轮仍由甲出题的概率．

10 . 2023年9月23日，第19届亚洲运动会在杭州正式开幕．这是1990年第11届北京亚运会、2010年第16届广州亚运会之后，中国第三次主办亚运盛会，也进一步激发了中国全民参与体育活动的热情．为调查学生对亚运会相关知识的了解情况，某中学进行了亚运会知识问答测试，将得分在70分及以上的学生称为“亚运迷”．现将该学校参与知识问答活动的学生的得分（满分100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图：
   
(1)估计该学校学生参与知识问答测试的得分的中位数（结果保留一位小数）；
(2)按是否为“亚运迷”比例采用分层抽样的方法抽取5名学生前往杭州参加亚运志愿者活动，其中2名学生参与宣传工作，3名学生参与场务工作．记参与宣传工作的“亚运迷”的学生人数为，求的分布列和数学期望．