1 . 某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为，其中，且.
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的概率分布；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.

2 . 某牛奶店每天以每盒元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
（1）若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：盒，）的函数解析式；
（2）牛奶店老板记录了某天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：

日需求量
频数

以这天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及均值；
②若牛奶店计划一天购进盒或盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进盒还是盒？请说明理由．

3 . 某地已知6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血液检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染，拟采用两种方案检测：方案甲；将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.
（1）求甲方案所通检测次数X和乙方案所需检测次数Y的概率分布；
（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.

4 . 已知一位篮球投手投中两分球的概率为，投中三分球的概率为，每次投中两分球、三分球分别得2分、3分，未投中均得0分，每次投篮的结果相互独立，该投手进行3次投篮：包括两分球投篮1次、三分球投篮2次．
（1）求“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”的概率；
（2）求该投手的总得分的分布列和数学期望．

5 . 高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：，，，，，，．其中，，成等差数列且．物理成绩统计如表．（说明：数学满分150分，物理满分100分），若数学成绩不低于140分等第为“优”，物理成绩不低于90分等第为“优”.

分组
频数	6	9	20	10	5

（1）根据频率分布直方图，求出实数，，的值以及数学成绩为“优”的人数；
（2）已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从该6人中随机抽取3人，记为抽到两个“优”的学生人数，求的分布列和数学期望．

6 . 1616年4月23日，塞万提斯与莎士比亚辞世，4月23日也和其它一些伟大作者的生卒有关.于是，以4月23日向书籍及其作者致以世界范围的敬意，自然成了联合国大会的选择.1995年，联合国教科文组织定4月23日为世界图书与版权日（或世界书籍与版权日），汉译另有世界读书日、世界阅读日、世界书香日诸种.2014年起，“全民阅读”已经连续4年写入政府工作报告，在今年的政府工作报告中，“倡导全民阅读”的提法更是升级为“大力推动全民阅读”，全民阅读已经成为了国家战略.为调查全校学生的课外阅读情况，教务处随机调查了100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如表：

是否达标/性别	不达标	达标
男生	36	24
女生	10	30

（1）是否有99%的把握认为课外阅读是否达标与性别有关？
附：

	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）如果把这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别当作全校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立.现随机抽取3个学生（2男1女），用X表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X的分布列和数学期望.

7 . 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲､乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球：若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望.

8 . 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲､乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜，比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
（1）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；
（2）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.

9 . 为了了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表：
（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的概率；
（2）设参加公益劳动时间在的学生中抽取3人进行面谈.记为抽到高中的人数，求随机变量的概率分布.

10 . 在1，2，3，…….，8这8个连续的自然数中，任取3个数.
（1）求这3个数中，恰有一个是奇数的概率；
（2）记为这三个数中两数相邻的组数，(例如：若取出的数1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2)，求随机变量的分布列及其数学期望.