1 . 近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费，盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率，现有玩具店推出四种款式不同、单价相同的盲盒（这四款分别是草莓熊、三丽鸥、蛋仔、卡皮巴拉），每款数量足够多，购买规则及概率规定如下:每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.
(1)现小明欲到玩具店购买盲盒，设他首次买到草莓熊这款盲盒时所需要的购买次数为，证明:;
(2)设首次出现连续次购买到草莓熊这款盲盒时所需的试验次数期望为，
（i）求;
（ii）求.
提示:求的方式:先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
参考公式:

2 . 某台球选手采用如下方法进行障碍球训练：在不透明的盒子里装有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外完全相同，每次击球前从盒中任取一个球放置到障碍点，然后用母球击球．如果障碍球被打进，则继续从盒子中取球放置到另一个障碍点，进行第二次击球；如果障碍球没被打进，则继续在同一点进行第二次击球；如此反复进行下去，直到5个球全部被打进去为止．假设该选手在每个障碍点将球打进的概率都是．
(1)记事件 “三次击球共打进一个红球和一个黑球”，记事件 “第次击球打进红球”，事件 “第次击球打进黑球”，事件 “第次击球没打进球”，写出事件的样本空间中包含的所有基本事件，求的值；
(2)记第次击球后5个球全部被打进的概率为，求的最大值．

3 . 已知不透明的盒子中有8个相同的乒乓球，球上标有数字1，2，3，…，8，有放回地随机抽取两次（每次抽取1个球），记下球上的数字，，原点和点，点．
(1)记事件或．求事件发生的概率．
(2)记事件的面积不大于5．求事件发生的概率．
(3)记事件是锐角．事件是锐角三角形．求在事件发生的条件下事件发生的概率．

7 . 2024年5月18日世界博物馆日中国主会场活动在陕西历史博物馆举办，同时“秦汉文明”系列展览开幕．某校组织学生参加志愿者服务，志愿活动共有特展讲解、秩序维持、少儿手绘培训三项．志愿者参加特展讲解可获得3个志愿积分，参加秩序维持、少儿手绘培训可获得2个志愿积分，凭积分可在博物馆领取相应的纪念品．某班有6名学生（男生2人，女生4人）参加志愿活动，每个人的选择互不影响．
(1)若每个人等可能的选择一项活动参加，求在男生甲选择了秩序维持的条件下，男生乙也选择秩序维持的概率；
(2)若两个男生都只参加秩序维持，每个女生从特展讲解、少儿手绘培训中选择一项或两项参加，且选择一项参加和选择两项参加的概率都为．现从6人中随机选取两人，记两人积分之和为X，求X的分布列和期望．