2 . 已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
(1)对于正整数，求，并根据，求；
(2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（i）求；
（ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.

3 . 兵乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜．
(1)若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；
(2)若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据）

5 . 第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.这是中国为世界呈现的体育盛会，也是亚洲人民携手写就的崭新篇章.现有某场乒乓球比赛采用5局3胜制，先赢3局的一方获胜，比赛结束.若参加比赛的甲每局比赛战胜对手乙的概率均为.假设各局比赛结果相互独立.
(1)求比赛恰好进行4局甲获胜的概率；
(2)设比赛进行的总局数为，求的分布列和数学期望；
(3)如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择，从概率角度考虑，乙如何选择对自己有利？请直接写出选择方案.

8 . 为了研究吸烟是否与患肺癌有关，某研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示：

吸烟	肺癌		合计
	非肺癌患者	肺癌患者
非吸烟者
吸烟者
合计

(1)依据小概率的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险；
(2)从这人中采用分层抽样，按照是否患肺癌抽取人，再从这人中随机抽人，记这人中不患肺癌的人数为，求的分布列和均值；
(3)某药厂研制出一种新药，声称对治疗肺癌的有效率为.现随机选择了名肺癌患者，经过使用药物治疗后，治愈的人数不超过人.请问你是否怀疑该药厂的宣传，请说明理由.
参考公式和数据：
①，其中；且 .
②；概率低于的事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的.

9 . 小明玩摸球游戏，袋子里面装有形状和大小相同的红球､白球和绿球若干个，每次都是有放回地摸一个球，若首次摸到的是红球，爸爸就奖励小明2元，并规定：若连续摸到红球，则下次摸到红球的奖励是上次的两倍；若某次摸到其他球，则该次无奖励，且下次奖金重置为2元.已知小明每次摸到红球的概率是，且每次能否摸到红球相互独立.
(1)试问至少要摸几次球，才能使摸到红球的概率不小于？
(2)若小明连续摸球3次，记获得的总奖金为元，求.

10 . “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，，且，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？