名校
解题方法
1 . 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量
．
(1)证明：（ⅰ）
（
，且
），其中
为组合数；
（ⅱ）随机变量
的数学期望
；
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量
表示事件A发生的次数，试探求
的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．
．(1)证明：（ⅰ）
（，且），其中为组合数；（ⅱ）随机变量
的数学期望；(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量
表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．
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名校
解题方法
2 . 设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为
，
，
，
，
．指标
可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为
．设
．
(1)若
，求；
(2)若
，求的最小值；
(3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：
，并指出取等号的充要条件
，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设．(1)若
，求；(2)若
，求的最小值；(3)对任意与
有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件
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2024-01-07更新
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1917次组卷
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6卷引用：湖南省岳阳市第一中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题
湖南省岳阳市第一中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题北京市2024届“极光杯”高三上学期线上测试（二）数学试题浙江省名校协作体2024届高三下学期开学适应性考试数学试题（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3（已下线）微考点7-1 分布列概率中的三大最值问题（三大题型）（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）
名校
解题方法
3 . 随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为
，选择B套餐的概率为
.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为
，选择
套餐的概率为
；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为
，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第
天选择套餐的概率为
.
(1)求同学甲第二天选择套餐的概率；
(2)证明：数列
为等比数列；
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A类套餐的人数，用
表示这100名学生中恰有
名学生选择A类套餐的概率，求取最大值时对应的的值.
，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.(1)求同学甲第二天选择
套餐的概率；(2)证明：数列
为等比数列；(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A类套餐的人数
，用表示这100名学生中恰有名学生选择A类套餐的概率，求取最大值时对应的的值.
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2023-10-27更新
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3281次组卷
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10卷引用：湖南省郴州市2024届高三一模数学试题
湖南省郴州市2024届高三一模数学试题江西省宜春市宜丰县宜丰中学创新部2024届高三上学期期中数学试题（已下线）考点13 二项分布与超级几何分布 2024届高考数学考点总动员（已下线）考点19 概率中的数列 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）随机变量及其分布（已下线）微考点7-1 分布列概率中的三大最值问题（三大题型）（已下线）专题04 概率统计大题（已下线）专题24 新高考数学模拟卷（一）（已下线）湖南省郴州市2024届高三一模数学试题变式题17-22江苏省徐州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
名校
解题方法
4 . 在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．
(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望；
(2)若甲参加了
局禁毒知识挑战赛，乙参加了
局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于
的概率为
，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于
的概率为
，证明：
．
．(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量
，求的分布列与期望；(2)若甲参加了
局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．
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2024-01-20更新
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947次组卷
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5卷引用：湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题
湖南省永州市2024届高考第二次模拟考试数学试题广东省汕头市潮阳实验学校2024届高三上学期联合模拟考试（二）数学试题（已下线）专题19 离散型随机变量及其分布列11种常见考法归类（4）（已下线）第3讲：决策的选择问题【练】（已下线）第10讲 第七章随机变量及其分布章节验收测评卷-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
5 . 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为
．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数
，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．
(1)证明：
；
(2)若
，
．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．
．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．(1)证明：
；(2)若
，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．
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2023-01-27更新
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1285次组卷
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4卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(二)数学试题
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(二)数学试题浙江省数海漫游2023届高三下学期一模数学试题（已下线）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(二)数学试题变式题19-22（已下线）考点20 概率中的函数 2024届高考数学考点总动员
解题方法
6 . 某景点共有999级台阶，寓意长长久久.游客甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，无其它可能.若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率也为.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第个台阶的概率为，其中
，且
.
（1）甲走3步时所得分数为，求的分布列和数学期望；
（2）证明：当，且
时，数列
是等比数列，并求甲登上第100级台阶的概率
.
，每步上两个台阶的概率也为.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且.（1）甲走3步时所得分数为
，求的分布列和数学期望；（2）证明：当
，且时，数列是等比数列，并求甲登上第100级台阶的概率.
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