1 . 已知常数,在成功的概率为的伯努利试验中,记为首次成功时所需的试验次数,的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.
(1)对于正整数,求,并根据,求;
(2)对于几何分布的拓展问题,在成功的概率为的伯努利试验中,记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为,现提供一种求的方式:先进行第一次试验,若第一次试验失败,因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助,可以认为后续期望仍是,即总的试验次数为;若第一次试验成功,则进行第二次试验,当第二次试验成功时,试验停止,此时试验次数为2,若第二次试验失败,相当于重新试验,此时总的试验次数为.
(i)求;
(ii)记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为,求.
(1)对于正整数,求,并根据,求;
(2)对于几何分布的拓展问题,在成功的概率为的伯努利试验中,记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为,现提供一种求的方式:先进行第一次试验,若第一次试验失败,因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助,可以认为后续期望仍是,即总的试验次数为;若第一次试验成功,则进行第二次试验,当第二次试验成功时,试验停止,此时试验次数为2,若第二次试验失败,相当于重新试验,此时总的试验次数为.
(i)求;
(ii)记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为,求.
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解题方法
2 . 兵乓球(table tennis),被称为中国的“国球”,是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为:两球换发制,每人发两个球,然后由对方发球,先得11分者获胜.
(1)若单局比赛中,甲发球时获胜的概率为,甲接球时获胜的概率为,甲先发球,求单局比赛中甲获胜的概率;
(2)若比赛采用三局两胜制(当一队朚得两场胜利时,该队获胜,比赛结束),每局比赛甲获胜的概率为,每局比赛结果相互独立,记为比赛结束时的总局数,求的期望.(参考数据)
(1)若单局比赛中,甲发球时获胜的概率为,甲接球时获胜的概率为,甲先发球,求单局比赛中甲获胜的概率;
(2)若比赛采用三局两胜制(当一队朚得两场胜利时,该队获胜,比赛结束),每局比赛甲获胜的概率为,每局比赛结果相互独立,记为比赛结束时的总局数,求的期望.(参考数据)
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2024-03-21更新
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1523次组卷
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2卷引用:2024届高三第二次学业质量评价(T8联考)数学试题
名校
解题方法
3 . 11分制乒乓球比赛规则如下:在一局比赛中,每两球交换发球权,每赢一球得1分,先得11分且至少领先2分者胜,该局比赛结束;当某局比分打成10∶10后,每球交换发球权,领先2分者胜,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛,比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球的比赛结果相互独立,且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值;
(2)求第一局比赛甲获胜的概率;
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率,求该场比赛甲获胜的概率.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值;
(2)求第一局比赛甲获胜的概率;
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率,求该场比赛甲获胜的概率.
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2024-03-20更新
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3991次组卷
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6卷引用:湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题
湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题2024届福建省高三下学期数学适应性练习卷(已下线)2023-2024学年高二下学期期中复习解答题压轴题十七大题型专练(2)广西壮族自治区“贵百河”2024届高三下学期4月质量调研联考数学试题(已下线)第4套 新高考全真模拟卷(二模重组)湖南省岳阳市2024届高三下学期考情信息卷数学试题
名校
4 . 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名,该游戏中有A,B,C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏,需从三首歌曲中各随机选一首,自主选择猜歌顺序,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首,并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表:
(1)求甲按“”的顺序猜歌名,至少猜对两首歌名的概率;
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名,请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望;为了得到更多的奖励基金,请你给出合理的选择建议,并说明理由.
歌曲 | |||
猜对的概率 | 0.8 | 0.5 | 0.5 |
获得的奖励基金金额/元 | 1000 | 2000 | 3000 |
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名,请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望;为了得到更多的奖励基金,请你给出合理的选择建议,并说明理由.
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2024-03-19更新
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2040次组卷
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5卷引用:湖北省鄂州鄂南高中2024届高三下学期高考模拟考试(一)数学试卷
湖北省鄂州鄂南高中2024届高三下学期高考模拟考试(一)数学试卷湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题重庆市西南大学附属中学校2023-2024学年高三下学期全真模拟集训(一)数学试题河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题(已下线)第七章:随机变量及其分布章末重点题型复习(7题型)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)
名校
解题方法
5 . 如图,一个质点在随机外力的作用下,从数轴点1的位置出发,每隔向左或向右移动一个单位,设每次向右移动的概率为.
(2)记后质点的位置对应的数为,若随机变量的期望,求的取值范围.
(1)当时,求后质点移动到点0的位置的概率;
(2)记后质点的位置对应的数为,若随机变量的期望,求的取值范围.
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2024-03-14更新
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1775次组卷
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3卷引用:湖北省八市2024届高三下学期3月联考数学试卷
解题方法
6 . 第19届亚运会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.这是中国为世界呈现的体育盛会,也是亚洲人民携手写就的崭新篇章.现有某场乒乓球比赛采用5局3胜制,先赢3局的一方获胜,比赛结束.若参加比赛的甲每局比赛战胜对手乙的概率均为.假设各局比赛结果相互独立.
(1)求比赛恰好进行4局甲获胜的概率;
(2)设比赛进行的总局数为,求的分布列和数学期望;
(3)如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择,从概率角度考虑,乙如何选择对自己有利?请直接写出选择方案.
(1)求比赛恰好进行4局甲获胜的概率;
(2)设比赛进行的总局数为,求的分布列和数学期望;
(3)如果某场比赛赛前有3局2胜制和5局3胜制两种方案供选手选择,从概率角度考虑,乙如何选择对自己有利?请直接写出选择方案.
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解题方法
7 . 如图,某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏:将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处,小球将自由下落,小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分,落入袋记2分,游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.
(1)求,,.
(2)写出与之间的递推关系,并求出的通项公式.
(1)求,,.
(2)写出与之间的递推关系,并求出的通项公式.
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8 . 为了研究吸烟是否与患肺癌有关,某研究所采取有放回简单随机抽样的方法,调查了人,得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示:
(1)依据小概率的独立性检验,分析吸烟是否会增加患肺癌的风险;
(2)从这人中采用分层抽样,按照是否患肺癌抽取人,再从这人中随机抽人,记这人中不患肺癌的人数为,求的分布列和均值;
(3)某药厂研制出一种新药,声称对治疗肺癌的有效率为.现随机选择了名肺癌患者,经过使用药物治疗后,治愈的人数不超过人.请问你是否怀疑该药厂的宣传,请说明理由.
参考公式和数据:
①,其中;且 .
②;概率低于的事件称为小概率事件,一般认为在一次试验中是几乎不发生的.
吸烟 | 肺癌 | 合计 | |
非肺癌患者 | 肺癌患者 | ||
非吸烟者 | |||
吸烟者 | |||
合计 |
(2)从这人中采用分层抽样,按照是否患肺癌抽取人,再从这人中随机抽人,记这人中不患肺癌的人数为,求的分布列和均值;
(3)某药厂研制出一种新药,声称对治疗肺癌的有效率为.现随机选择了名肺癌患者,经过使用药物治疗后,治愈的人数不超过人.请问你是否怀疑该药厂的宣传,请说明理由.
参考公式和数据:
①,其中;且 .
②;概率低于的事件称为小概率事件,一般认为在一次试验中是几乎不发生的.
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解题方法
9 . 小明玩摸球游戏,袋子里面装有形状和大小相同的红球、白球和绿球若干个,每次都是有放回地摸一个球,若首次摸到的是红球,爸爸就奖励小明2元,并规定:若连续摸到红球,则下次摸到红球的奖励是上次的两倍;若某次摸到其他球,则该次无奖励,且下次奖金重置为2元.已知小明每次摸到红球的概率是,且每次能否摸到红球相互独立.
(1)试问至少要摸几次球,才能使摸到红球的概率不小于?
(2)若小明连续摸球3次,记获得的总奖金为元,求.
(1)试问至少要摸几次球,才能使摸到红球的概率不小于?
(2)若小明连续摸球3次,记获得的总奖金为元,求.
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10 . “英才计划”最早开始于2013年,由中国科协、教育部共同组织实施,到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生,为选拔培养对象,某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动.
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学,从这12名学员中选取3人,表示选取的人中来自该中学的人数,求的分布列和数学期望;
(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动.规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利,假设每轮答题结果互不影响.已知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为,,且,如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利,那么理论上至少要参加多少轮竞赛?
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学,从这12名学员中选取3人,表示选取的人中来自该中学的人数,求的分布列和数学期望;
(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动.规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利,假设每轮答题结果互不影响.已知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为,,且,如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利,那么理论上至少要参加多少轮竞赛?
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2023-07-29更新
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1727次组卷
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7卷引用:湖北省武汉市江汉区2024届高三上学期7月新起点摸底考试数学试题
湖北省武汉市江汉区2024届高三上学期7月新起点摸底考试数学试题(已下线)模块一 情境8 以概率统计为背景广东省台山市第一中学2024届高三上学期第一次月考数学试题山东省淄博实验中学与齐盛高级中学2024届高三国庆联合训练数学试题重庆市名校联盟2024届高三上学期期中数学试题(已下线)第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布(练习)(已下线)考点13 二项分布与超级几何分布 2024届高考数学考点总动员【练】