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1 . 五月初,某中学举行了“庆祝劳动光荣,共绘五一华章”主题征文活动,旨在通过文字的力量,展现劳动者的风采,传递劳动之美,弘扬劳动精神.征文筛选由A、B、C三名老师负责.首先由A、B两位老师对征文进行初审,若两位老师均审核通过,则征文通过筛选;若均审核不通过,则征文落选;若只有一名老师审核通过,则由老师C进行复审,复审合格才能通过筛选.已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为,且各老师的审核互不影响.
(1)已知某篇征文通过筛选,求它经过了复审的概率;
(2)从投稿的征文中抽出4篇,设其中通过筛选的篇数为X,求X的分布列和数学期望.
(1)已知某篇征文通过筛选,求它经过了复审的概率;
(2)从投稿的征文中抽出4篇,设其中通过筛选的篇数为X,求X的分布列和数学期望.
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2 . 在科技飞速发展的今天,人工智能领域迎来革命性的突破.类似于OpenAI的人工智能大模型不仅具有高度智能化、自主化和自适应的特点,它们的学习能力和信息储存能力也远远超越人类,更是拥有强大的语音识别和语言理解能力.某机构分别用,两种人工智能大模型进行对比研究,检验这两种大模型在答题时哪种更可靠,从某知识领域随机选取180个问题进行分组回答,其中人工智能大模型回答100个问题,有90个正确;人工智能大模型回答剩下的80个问题,有65个正确.
(1)完成下列列联表,并根据小概率值的独立性检验,能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关?
(2)将频率视为概率,用人工智能大模型回答该知识领域的3道题目,且各题回答正确与否,相互之间没有影响,设回答题目正确的个数为,求的分布列和数学期望.
参考公式及参考数据:,.
(1)完成下列列联表,并根据小概率值的独立性检验,能否判断人工智能大模型的选择和回答正确有关?
回答正确 | 回答错误 | 合计 | |
人工智能大模型 | |||
人工智能大模型 | |||
合计 |
参考公式及参考数据:,.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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3 . 在信息理论中,和是两个取值相同的离散型随机变量,分布列分别为:,,,,,.定义随机变量的信息量,和的“距离”.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
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4 . 2024年2月17日晚上八点,中华人民共和国第十四届冬季运动会开幕式在内蒙古冰上运动训练中心举行,开幕式以“燃情冰雪 筑梦北疆”为主题,全程共80分钟,分为开幕仪式和文体展演两部分.开幕式融合“简约、安全、精彩”的办赛要求,整场参与表演的演员仅有约800人,通过数字技术并结合利用AR虚拟视效,将内蒙古大地的“豪情、豪迈、豪放”呈现给全国人民.多首耳熟能详的内蒙古优秀歌曲,以及那达慕、安代舞、马头琴等民俗、歌舞、器乐等表演元素,都在开幕式上呈现.文体展演之后,进行了“十四冬”主火炬点火仪式.随机调查了某社区100人观看第十四届冬季运动会开幕式的情况,得到如下所示的2×2列联表.
(1)根据小概率值的独立性检验,分析观看第十四届冬季运动会开幕式是否与性别有关;
(2)将频率视为概率,用样本估计总体.继续从未观看开幕式居民中抽取3人进一步的分析,记被抽取到的男性居民的人数为,求的分布列,数学期望与方差.
附表及公式:
其中,.
看开幕式 | 未看开幕式 | 合计 | |
男 | 55 | 10 | 65 |
女 | 15 | 20 | 35 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
(2)将频率视为概率,用样本估计总体.继续从未观看开幕式居民中抽取3人进一步的分析,记被抽取到的男性居民的人数为,求的分布列,数学期望与方差.
附表及公式:
0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
5 . 现有甲、乙两个不透明盒子,都装有1个红球和1个白球,这些球的大小、形状、质地完全相同.
(1)若从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,次这样的操作后,记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望;
(2)现从甲中有放回的抽取次,每次抽取1球,若抽取次数不超过次的情况下,抽取到2次红球,则停止抽取,一直抽取不到2次红球,第次抽取完也停止抽取,令抽取停止时,抽取的次数为,求的数学期望,并证明:.
(1)若从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,次这样的操作后,记甲盒子中红球的个数为.求的分布列与数学期望;
(2)现从甲中有放回的抽取次,每次抽取1球,若抽取次数不超过次的情况下,抽取到2次红球,则停止抽取,一直抽取不到2次红球,第次抽取完也停止抽取,令抽取停止时,抽取的次数为,求的数学期望,并证明:.
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6 . 某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛,最终由小明同学和唐老师入围决赛,决赛规则如下:
①学生:回答n个问题,每个问题小明回答正确的概率均为;若小明回答错误,可以行使学生权益,即可以进行场外求助,由场外同学小亮帮助答题,且小亮每个问题回答正确的概率均为.
②教师:回答个问题,每个问题唐老师回答正确的概率均为.
假设每道题目答对与否相互独立,最终答对题目多的一方获胜.
(1)若,,记小明同学答对问题(含场外求助答对题数)的数量为X,求X的分布列及数学期望:
(2)若,且小明同学获胜的概率不小于,求p的最小值.
①学生:回答n个问题,每个问题小明回答正确的概率均为;若小明回答错误,可以行使学生权益,即可以进行场外求助,由场外同学小亮帮助答题,且小亮每个问题回答正确的概率均为.
②教师:回答个问题,每个问题唐老师回答正确的概率均为.
假设每道题目答对与否相互独立,最终答对题目多的一方获胜.
(1)若,,记小明同学答对问题(含场外求助答对题数)的数量为X,求X的分布列及数学期望:
(2)若,且小明同学获胜的概率不小于,求p的最小值.
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解题方法
7 . 甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则:每一局比赛中,胜者得1分,负者得0分,且比赛中没有平局.根据以往战绩,每局比赛甲获胜的概率为,每局比赛的结果互不影响.
(1)经过3局比赛,记甲的得分为X,求X的分布列和期望;
(2)若比赛采取3局制,试计算3局比赛后,甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
(1)经过3局比赛,记甲的得分为X,求X的分布列和期望;
(2)若比赛采取3局制,试计算3局比赛后,甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
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8 . 某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系,随机调查了600位居民,得到如下数据:
(1)完成列联表.根据小概率值的独立性检验,能否认为体育锻炼达标与性别有关联?
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为,体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率,从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试,求3人中合格的人数的分布列及期望.(对应值见下表.,)
不达标 | 达标 | 合计 | |
男 | 300 | ||
女 | 100 | 300 | |
合计 | 450 | 600 |
(2)若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为,体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为.用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率,从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试,求3人中合格的人数的分布列及期望.(对应值见下表.,)
0.1 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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9 . 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕,各地报起了一股学习党史风潮,某市为了促进市民学习党史,举办了党史知识竞赛活动,通过随机抽样,得到了1000人的竞赛成绩(满分100分)数据,统计结果如下表所示:
(1)求上表数据中的平均值(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表);
(2)根据样本估计总体的方法,用频率代替概率,从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛,记他们之中不低于60分的人数为,求的分布列及数学期望.
成绩区间 | |||||||
频数 | 20 | 180 | 200 | 280 | 220 | 80 | 20 |
(2)根据样本估计总体的方法,用频率代替概率,从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛,记他们之中不低于60分的人数为,求的分布列及数学期望.
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解题方法
10 . 随着生活水平的不断提高,人们对于身体健康越来越重视.为了解人们的健康情况v某地区一体检机构统计了年岁到岁来体检的人数及年龄在,,,的体检人数的频率分布情况,如下表.该体检机构进一步分析体检数据发现:岁到岁(不含岁)体检人群随着年龄的增长,所需面对的健康问题越多,具体统计情况如图.
注:健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等余种常见健康问题.
(1)根据上表,求从年该体检机构岁到岁体检人群中随机抽取人,此人年龄不低于岁的频率;
(2)用频率估计概率,从年该地区岁到岁体检人群中随机抽取人,其中不低于岁的人数记为,求的分布列及数学期望;
(3)根据图的统计结果,有人认为“该体检机构年岁到岁(不含岁)体检人群健康问题个数平均值一定大于个,且小于个”.判断这种说法是否正确,并说明理由.
组别 | 年龄(岁) | 频率 |
第一组 | ||
第二组 | ||
第三组 | ||
第四组 |
(1)根据上表,求从年该体检机构岁到岁体检人群中随机抽取人,此人年龄不低于岁的频率;
(2)用频率估计概率,从年该地区岁到岁体检人群中随机抽取人,其中不低于岁的人数记为,求的分布列及数学期望;
(3)根据图的统计结果,有人认为“该体检机构年岁到岁(不含岁)体检人群健康问题个数平均值一定大于个,且小于个”.判断这种说法是否正确,并说明理由.
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