名校
解题方法
1 . 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：
，双曲余弦函数：
，（
是自然对数的底数）.
（1）解方程：
；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：
________，并证明；
（3）无穷数列
，
，
，是否存在实数
，使得
？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
，双曲余弦函数：，（是自然对数的底数）.（1）解方程：
；（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：
________，并证明；（3）无穷数列
，，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
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2 . 现新定义两个复数
（
、
）和
（
、
）之间的一个新运算
，其运算法则为：
.
（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：
；
（2）设运算
为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.
（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.（1）请证明新运算
对于复数的加法满足分配律，即求证：；（2）设运算
为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.
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2020-07-16更新
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321次组卷
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6卷引用：上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题沪教版(2020) 必修第二册 同步跟踪练习 第9章 复数 9.1~9.2 阶段综合训练（已下线）第三章 数系的扩充与复数的引入【专项训练】-2020-2021学年高二数学（理）下学期期末专项复习（人教A版选修2-2）苏教版(2019) 必修第二册 必杀技 专练1 新定义、新情境专练沪教版(2020) 必修第二册 同步跟踪练习 第9章 9.1～9.2阶段综合训练（已下线）7.2.2 复数的乘、除运算 (精讲）（2）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）
3 . 在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：
（1）对任意
；（2）对任意
；
（3）对任意
．
给出下列四个结论：
①
；
②
；
③对任意
；
④存在
．
其中，所有正确结论的序号是__________ ．
（1）对任意
；（2）对任意；（3）对任意
．给出下列四个结论：
①
；②
；③对任意
；④存在
．其中，所有正确结论的序号是
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2020-09-14更新
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261次组卷
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2卷引用：上海市嘉定区第二中学2021届高三上学期期中数学试题
名校
4 . 将
替换为复数
，以下关于向量模的性质类比到复数中：
①
类比为
；
②
类比为
；
③
类比为
；
④
，类比为
.
复数的结论仍成立的序号是___________
替换为复数，以下关于向量模的性质类比到复数中：①
类比为；②
类比为；③
类比为；④
，类比为.复数的结论仍成立的序号是
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5 . 设
我们可以证明对数的运算性质如下：
.我们将
式称为证明的“关键步骤”.则证明
（其中
）的“关键步骤”为________ .
我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为
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2019-12-31更新
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302次组卷
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3卷引用：上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题
上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题2020届上海市静安区高三一模（期末）数学试题（已下线）4.2 对数（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（苏教版2019必修第一册）
6 . 根据高一课本基本不等式章节知识所学，我们知道基本不等式
，那么类比可得
，那么根据上述结论，则
的最大值为________ .
，那么类比可得，那么根据上述结论，则的最大值为
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名校
7 . 在实数集R中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：
当且仅当“
”或“
”且“
”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题:
①若
,则
；
②若
，则
；
③若,则对于任意
；
④对于复数
,若,则
.
其中所有真命题的序号为______________ .
当且仅当“”或“”且“”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题:①若
,则；②若
，则；③若
,则对于任意；④对于复数
,若,则.其中所有真命题的序号为
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20-21高一下·上海浦东新·阶段练习
名校
8 . 设函数
的图象与直线
、
及
轴所围成图形的面积称为函数在
上的面积，已知函数
在
上的面积为
，则函数
在
上的面积为_____________ .
的图象与直线、及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，则函数在上的面积为
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9 . 已知，
是正整数，
，当
时，则有
成立，当且仅当“
”取等号，利用上述结论求
，
的最小值______ ．
，是正整数，，当时，则有成立，当且仅当“”取等号，利用上述结论求，的最小值
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2019-11-08更新
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210次组卷
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4卷引用：上海市第二中学2018-2019学年度高二下学期期末数学试题
上海市第二中学2018-2019学年度高二下学期期末数学试题上海市奉城高级中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题（已下线）2010-2011学年湖北省荆州中学高一下学期期中考试理科数学卷山东省青岛市青岛第十七中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
名校
解题方法
10 . 某同学在一次研究性学习中，发现有以下三个等式成立：
①
②
③
该同学做了进一步大胆的猜想、推理，并查表验证，发现以下三个等式也成立.
④
⑤
⑥
请你分析上述各式的共同特点，猜想出更一般的规律，并加以证明.
①
②
③
该同学做了进一步大胆的猜想、推理，并查表验证，发现以下三个等式也成立.
④
⑤
⑥
请你分析上述各式的共同特点，猜想出更一般的规律，并加以证明.
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2020-04-01更新
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155次组卷
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3卷引用：沪教版(2020) 必修第二册 同步跟踪练习 第6章 三角 6.2.1 第3课时 两角和与差的正切
