1 . 设，，且.
证明：(1) ；
(2) 与不可能同时成立．

2 . 已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．

3 . 已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由．

4 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

5 . （1）已知，.求证：；
（2）在中，内角的对边分别为.若，用反证法证明：.

6 . 已知，求证：
（1）；
（2）与至少有一个大于.

7 . （1）三内角成等差数列，对边分别为.证明：.
（2）已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，，当时，.用反证法证明：.

8 . 若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.
（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；
（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.

9 . 设个不全相等的正数，…，依次围成一个圆圈.
(1)设，且，…，是公差为的等差数列，而，…，是公比为的等比数列，数列，…，的前项和满足，求数列的通项公式；
(2)设，若数列，…，每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求；
(3)在（2）的条件下，，求符合条件的的个数.

10 . 设函数中，为奇数，均为整数，且均为奇数.求证：无整数根．