1 . 已知数列中，其前项和记为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列．

2 . 三棱柱中，侧面底面，，，，，是棱上的一点，过的平面与相交于.

（1）求证：；
（2）若是的中点，求证：平面平面；
（3）求证：与平面不垂直.

3 . 已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和;
(3)数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列?若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由.

4 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

5 . 设数列的前项和为，且，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

6 . （1）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立．
（2）求证：

7 . 已知函数.
（1）若，且在区间恒成立，求的取值范围；
（2）当，时，求证：在区间至少存在一个，使得.

8 . 已知正项数列满足：，，其中．
（1）若，求数列的前项的和；
（2）若，．
①求数列的通项公式；
②记数列的前项的和为，若无穷项等比数列始终满足，求数列的通项公式．

9 . 列三角形数表

假设第行的第二个数为
（1）归纳出与的关系式并求出的通项公式；
（2）求证：数列中任意的连续三项不可能构成等差数列．

10 . 已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为.
（1）若数列通项为，求证：；
（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；
（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由.