1 . 在中，用综合法证明：是的充分不必要条件.

2 . 已知为正实数．
(1)求证：；
(2)如果一个直角三角形的两条直角边分别为，且它的周长为.
①求证：斜边；
②求直角三角形面积的最大值.

3 . 设数列的通项公式为．证明：存在无穷多个正整数m，使得是完全平方数．

4 . （1）设，证明：；
（2）已知，证明：．

5 . 已知，则a与b的大小关系______．

6 . 对于正整数集合A＝{a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥3），如果去掉其中任意一元素a_i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中，a₁＜a₂＜a₃＜a₄不可能是“平衡集”．

7 . 已知数列、满足，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：；
（Ⅲ）设数列的前项和为，求证：当时，．

8 . （1）已知，，，，求证：；
（2）若，，，求证：，，不可能同时大于．

9 . (本小题满分分)已知圆有以下性质：
①过圆上一点的圆的切线方程是.
②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为.
③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段.
(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明)；
(2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程；
(3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值，且平分线段.

10 . ⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．