1 . 是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由．

2 . 求证：对任何正整数n，数都能被8整除

4 . 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ＋yⁿ能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N^*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．

5 . 用数学归纳法证明：
（1）；
（2）；
（3）设，证明：；
（4）是13的倍数；
（5），证明能被整除.

6 . 对由和这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“”的最后一个所在数位是第(,且)位,则称子串“”在第位出现;再继续从第位按从左往右的顺序找子串“”,若第二个子串“”的最后一个所在数位是第位(其中且),则称子串“”在第位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串中,子串“”在第位和第位出现,而不是在第位和第位出现.记在位由组成的所有字符串中,子串“”在第位出现的字符串的个数为.
（1）求的值;
（2）求证:对任意的正整数,是的倍数.

7 . 用数学归纳法证明：（）能被整除．从假设成立 到成立时，被整除式应为

A．

B．

C．

D．

8 . 在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：对于集合，排列是的一个错位排列；排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.
（1）直接写出，，，的值；
（2）当时，试用，表示，并说明理由；
（3）试用数学归纳法证明：为奇数.

9 . 用数学归纳法证明：（）能被9整除.

10 . 下列代数式(其中k∈N^*)能被9整除的是(　　)

A．6+6·7k	B．2+7k-1
C．2(2+7k+1)	D．3(2+7k)