【推荐1】气候变化是人类面临的全球性问题，随着世界各国二氧化碳不断排放，温室气体猛增，对生命系统形成威胁，在此背景下，我国提出了碳达峰和碳中和目标.为了减少碳排放，某企业决定投入资金升级改造工艺流程，把企业生产中排放的二氧化碳转化为可利用的化工产品.已知该企业每月二氧化碳的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到的可利用的化工产品的价值为元.
(1)该企业每月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？
(2)该企业每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，那么政府至少需要补贴多少元才能使该企业不亏损？

【推荐2】南京第二十七高级中学为了宣传秦淮特色和风土人情，由同学设计一幅秦淮特色矩形宣传画，要求画面面积为4000cm²，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

【推荐3】党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为50立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，沼气池盖子的造价为2000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少?

【推荐1】已知，求证：
（1）；
（2）.

【推荐2】试证明：若，，则

【推荐3】证明：.