【推荐1】为了备战2021年7月在东京举办的奥运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为．每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为，取得成功记1分，否则记0分．若选择动作B，取得成功的概率为，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分．
（1）若m＝2，求分数X的概率分布列与数学期望．（若结果不为整数，用分数表示）
（2）若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G（n），如．
①求G（2）；
②问是否存在，使得为等比数列，其中？若有，求出；若没有，请说明理由．

【推荐2】2022年11月4日上午，福建省福州市教育局对2023年初中毕业生体育考试抽考类、抽选考类项目进行摇号抽签，最终确定排球对墙垫球为抽考项目，立定跳远、50米跑、双手头上前掷实心球三项为抽选考项目（考生从这三个项目中自选两项考试）.此外，体育中考还有必考项目：1000米跑（男）、800米跑（女）或200米游泳（泳姿不限），考生按性别从2个项目中自选1项考试.若某初三男生参加中考体育测试的项目为排球对墙垫球、立定跳远、双手头上前掷实心球、1000米跑.为了提高成绩，该男生决定每天进行多次训练（一次练一项），第一次，在4个项目中等可能地随机选一项开始训练，从第二次起，每次都是从上一次未训练的3个项目中等可能地随机选1项训练.
(1)若该男生某天进行了3次训练，求第三次训练的是“排球对墙垫球”的概率；
(2)若该男生某天进行了5次训练，4个项目都有训练，且第一次训练的是“1000米跑”，前后训练项目不同视为不同的训练顺序，设5次训练中选择“1000米跑”的次数为，求的分布列及数学期望.

【推荐3】互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．