【推荐1】如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M，N，AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方．
   
(1)当时，求；
(2)求的最大值．

【推荐2】已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为，
(1)若直线上不存在点，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；
(2)在（1）的条件下，当取最大值时，点坐标为，设是椭圆上的三点，且，求：以线段的中心为圆心，过两点的圆方程.

【推荐3】椭圆的焦点是一个等轴双曲线的顶点,其顶点是双曲线的焦点，椭圆与双曲线有一个交点P，的周长为．
(1)求椭圆与双曲线的标准方程；
(2)点M是双曲线上的任意不同于其顶点的动点，设直线，的斜率分别为，求的值；
(3)过点任作一动直线l交椭圆于A、B两点，记．若在线段AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定曲线上运动？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．