【推荐1】古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A杆上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何不允许将大盘套在小盘上面，假定有三柱子A，B，C可供使用.

现用表示将n个圆盘全部从A柱上移到C上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
（1）写出，并求出；
（2）记，求和；
（其中表示所有的积的和）
（3）证明：

【推荐2】已知是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：.

【推荐3】如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”.
（1）若数列为“阿当数列”，且，，，求实数的取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由.
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“阿当数列”，，，当数列不是“阿当数列”时，试判断数列是否为“阿当数列”，并说明理由.

【推荐1】已知数列的通项公式为，在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列．设该等差数列的公差为，数列的前项和为．
（1）求的通项公式及．
（2）证明：当时，．

【推荐2】设为数列的前项和，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.

【推荐3】已知等差数列中,首项，公差为整数,且满足数列满足，且其前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为的等比中项,求正整数的值．