【推荐1】在椭圆外一直线上取个不同的点，过向椭圆作切线、，切点分别为、.记直线为.
（1）若存在正整数、（、，），使得点在直线上，证明：点在直线上；
（2）试求直线将椭圆分成的区域的个数.

【推荐2】已知椭圆: 的左、右焦点为F₁、F₂,设点F₁、F₂与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上任意一点作椭圆的切线与直线的垂线交于点M,求点M的轨迹方程;
(3)若切线与直线交于点,证明:为定值.

【推荐1】在平面直角坐标系中，是以点为圆心、5为半径的圆，点.证明：存在正常数，使得对外任意一点，有，并求的最大值.

【推荐2】已知圆与曲线，，，为曲线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．

【推荐3】已知实数满足：有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线上.试求这个正方形的面积.

【推荐1】已知二次函数有两个不同的零点.若有四个不同的根，且，，，成等差数列，求的取值范围.

【推荐2】（1）对实系数的一元二次方程可以用求根公式求复数范围内的解，在复数范围解方程；
（2）对一般的实系数一元三次方程（），由于总可以通过代换消去其二次项，就可以变为方程．在一些数学工具书中，我们可以找到方程的求根公式，这一公式被称为卡尔丹公式，它是以16世纪意大利数学家卡尔丹（J. Cardan）的名字命名的．卡尔丹公式的获得过程如下：三次方程可以变形为，把未知数写成两数之和，再把等式的右边展开，就得到，即．将上式与相对照，得到，把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方，，并把与看成未知数，解得于是，方程一个根可以写成．
阅读以上材料，求解方程．

【推荐3】设是双曲线上一动点，自向椭圆引两切线，切点分别为.若椭圆的左焦点为，求的最小值.