19. 物体在星球附近绕星球做匀速圆周运动的速度
,叫作第一宇宙速度(又叫作环绕速度);在星球表面附近发射物体的速度等于或大于
,物体就会克服该星球的引力,永远离开该星球,这个速度
叫作第二宇宙速度(又叫作逃逸速度)。已知引力常量为
G。在以下问题的讨论中,空气阻力及星球自转的影响均忽略不计。
(1)若将地球视为质量均匀分布的球体,已知地球的质量为
M,半径为
R。
a.请证明地球的第一宇宙速度的大小
;
b.某同学设想从地面以第一宇宙速度
的大小竖直上抛一个可视为质点的物体,关于该物体上升的最大高度,他的解答过程如下:
设物体的质量为
m,上升的最大高度为
h,重力加速度为
g,由机械能守恒定律有:
,又
,
,所以
联立得:
该同学的上述解答是否正确? 若不正确,请指出上述错误的原因,并分析说明物体上升的最大高度
h应该比
大还是小?
(2)由于引力的作用,星球引力范围内的物体具有引力势能。设有一质量分布均匀的星球,质量为
M,半径为
R,当取物体距离星球无穷远处的引力势能为零时,则物体(质量为
m)在距离该星球球心为
r(
r≥
R)处时的引力势能为
天体的质量越大,半径越小,逃逸速度也就越大,其表面的物体就越不容易脱离它的束缚。如果有这样的天体,它的质量非常大,半径又非常小,以至于以
的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去,这种天体就称为黑洞。1799年,法国科学家拉普拉斯指出,对于一个质量为
M 的球状物体,当其半径
R 小于
时,即是一个黑洞。请你根据所给信息并结合所学知识,证明上述结论。