【推荐1】宇航员在地球表面做实验，让一小球离地面一定距离自由下落，经过时间t小球到达地面。若他在某星球上离该星球表面相同距离让该小球自由下落，需经过时间2t到达该星球表面。已知地球半径与该星球的半径之比为2：1。（忽略地球和星球的自转，空气阻力不计）试求：
（1）地球上的重力加速度与该星球的重力加速度比值为多少；
（2）地球质量与该星球的质量的比值；
（3）地球的第一宇宙速度与该星球的第一宇宙速度的比值。

【推荐2】“神舟十五号”飞船于2022年11月29日发射成功，并和空间站顺利对接。对接后“神舟十五号"在离地球表面高度为h的空中绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，已知地球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）地球的质量M；
（2）地球表面的重力加速度大小g；
（3）地球的第一宇宙速度v₁。

【推荐3】我国计划发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球．设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图所示．设轨道舱的质量为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，则试求：

（1）月球的质量M和平均密度ρ；
（2）轨道舱的速度大小v和周期T．

【推荐1】宇航员在某星球上做了以下实验：将一小球从水平地面以30^°角斜向上抛出，抛出时速度大小为v₀，经t时间落回水平面，忽略空气阻力和星球自转的影响，已知引力常量为G，星球半径为R．求：

（1）该星球的质量；
（2）在该星球表面要成功发射一颗卫星的最小发射速度v．

【推荐2】根据自由落体运动或者平抛运动的规律，可以测量地球表面的重力加速度。我们按照相同的方法可以测量任意星球表面的重力加速度。如果某星球的质量为M，在该星球的表面有－倾角为θ的斜坡，航天员从斜坡顶以初速度v₀水平拋出一个小物体，经时间t小物体落回到斜坡上，不计一切阻力，忽略星球的自转，已知引力常量为G。
（1）求该星球表面的重力加速度g；
（2）求该星球的半径R；
（3）求此星球的第一宇宙速度。

【推荐3】我国“天问一号”火星探测器顺利进入环火轨道。已知“天问一号”绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为v，距火星表面的高度为h，火星的半径为R，引力常量为G。求：
（1）火星的质量M；
（2）火星的第一宇宙速度v₁。

【推荐1】2013年12月14日晚，嫦娥三号探测器成功落月，这是中国首次实现地外天体软着陆，着陆器落月过程的最后时刻，有以上几个关键阶段：①着陆器距离月面100m时保持悬停，对着陆区进行检测，选择安全的着陆点；②随后发动机维持一定推力缓慢下降，降至距月面4m时关闭发动机，着陆器依靠自身重力在月面着陆．已知月球半径约为地球半径的，月球质量约为地球质量的，着陆器质量约为1000kg，地球表面重力加速度g=10m/s²，根据以上数据计算：
（1）着陆器距月面100m悬停时，发动机产生的推力为多大？
（2）若关闭发动机时速度为零，则最后依靠自身重力着陆，落至月面的速度为多大？

【推荐2】2010年我国“嫦娥二号”探月卫星成功发射。设“嫦娥二号”距月球表面为，绕月圆周运动的周期为。已知月球半径为，引力常量为。求：
（1）月球的质量；
（2）月球表面的重力加速度。

【推荐3】一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h高处让小球以v₀的初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x，又已知该星球的半径为R，已知万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度g
（2）该星球的质量M
（3）该星球的第一宇宙速度v(最后结果必须用题中已知物理量表示)