【推荐1】在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h，已知重力加速度为g.
（1）若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
（2）求能被屏探测到的微粒的初速度范围；

【推荐2】如图所示，水平放置的绝缘光滑正方形桌面abcd，边长为L，距地面高度也为L，仅在桌面区域有竖直向上的匀强磁场。两个带有相同电荷量的小球1、2，质量分别为m₁和m₂，先后从b点沿水平桌面ba方向射入磁场，在b点动能相同；小球1从bc边的中点P水平射出，小球2从bc边的c点水平射出，重力加速度为g。

（1）求两小球带电性质及两小球质量之比；
（2）若在b点的动能，求两小球落地点间的水平距离x₁₂（用L表示）。

【推荐3】某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离后落地。已知握绳的手离地面高度为，手与球之间的绳长为，重力加速度为，忽略空气阻力，则
（1）绳能承受的最大拉力是多少？
（2）保持手的高度不变，改变绳长，使重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时达到最大拉力被拉断，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离是多少？

【推荐1】如图所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住，在竖直面内做圆周运动，求：

（1）要使小球作完整的圆周运动，小球在最高点的最小速度为多少？
（2）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？
（3）当小球在圆最低点速度为m/s时，细线的拉力是多少？

【推荐2】如图所示，用长度的轻绳，拴着一质量的小球（视为质点）在竖直面内做圆周运动，已知绳子能够承受的最大张力，圆心O离水平地面的高度，小球在最低点时轻绳恰好断开，不计空气阻力，取重力加速度大小，求：
（1）绳断时小球的线速度大小；
（2）绳断后小球的落地点与绳断时小球所在位置间的水平距离。
（3）小球落地的速度大小及落地速度与水平地面的夹角。

【推荐3】如图所示，MN、PQ两平行水平导轨间距为l=0.5m，分别与半径r=0.5m的相同竖直半圆导轨在N、Q端平滑连接，M、P端接有R=3Ω的定值电阻。质量M=2kg的绝缘杆cd垂直静止在水平导轨上，在其右侧至N、Q端的区域内充满竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B=0.4T。现有质量m=1kg、电阻R₀=1Ω的金属杆ab，以初速度v₀=12m/s水平向右与绝缘杆cd发生正碰后，进入磁场并最终未滑出，绝缘杆cd则恰好通过半圆导轨最高点。不计导轨电阻和摩擦，金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好，g取10m/s²，（不考虑杆cd通过半圆导轨最高点以后的运动）。求：
(1)杆cd通过半圆导轨最高点时的速度v的大小；
(2)正碰后杆ab的速度v₁的大小；
(3)杆ab刚进入磁场时感应电流I的大小、方向及其所受的安培力F的大小；
(4)杆ab运动的过程中，电阻R产生的焦耳热Q_R。

【推荐1】如图所示，光滑的圆弧轨道BC固定在竖直平面内，轨道的C点与水平面相切，其半径为。在水平面内有一质量的小球Q连接着轻质弹簧处于静止状态，现有一质量为的小球P从B点正上方高处由静止释放，小球P和小球Q大小相同，均可视为质点，当地的重力加速度g取，不计空气阻力。求：
（1）小球P到达圆弧轨道最低点C时的速度大小和对轨道的压力；
（2）在小球P压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能。（结果保留三位有效数字）
   

【推荐2】如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为 “魔力陀螺”。它可等效为一质量为m的质点在圆轨道外侧运动模型，如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。求：

(1)若质点以速率通过A点时，质点对轨道A点的作用力F_A；
(2)若质点恰能做完整的圆周运动过程，，质点对轨道A点的作用力．

【推荐3】如图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部是一长为的竖直细管，上半部是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧。投饵时，每次总将弹资长度压缩到后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去。设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零。不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时均不改变弹簧的弹性势能，已知重力加速度为g，求：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小；
（2）弹簧压缩到时的弹性势能；
（3）已知地面与水面相距，若使该投饵管绕管的中轴线，在角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在到m之间变化，且均能落到水面。持续投放足够长时间后，求鱼饵能够落到水面的最大面积S。（结果可保留根号）