【推荐1】如图甲所示，直角坐标系xoy的第二象限有一半径为R=a的圆形区域，圆形区域的圆心O₁坐标为（﹣a，a），与坐标轴分别相切于P点和N点，整个圆形区域内分布有磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直纸面向里（图中未画出）．带电粒子以相同的速度在纸面内从P点进入圆形磁场区域，速度方向与x轴负方向成θ角，当粒子经过y轴上的M点时，速度方向沿x轴正方向，已知M点坐标为（0，）．带电粒子质量为m、带电量为﹣q．忽略带电粒子间的相互作用力，不计带电粒子的重力，求：

（1）带电粒子速度v大小和cosθ值；
（2）若带电粒子从M点射入第一象限，第一象限分布着垂直纸面向里的匀强磁场，已知带电粒子在该磁场的一直作用下经过了x轴上的Q点，Q点坐标为（a，0），该磁场的磁感应强度B′大小为多大？
（3）若第一象限只在y轴与直线x=a之间的整个区域内有匀强磁场，磁感应强度大小仍为B．方向垂直纸面，磁感应强度B随时间t变化（B﹣t图）的规律如图乙所示，已知在t=0时刻磁感应强度方向垂直纸面向外，此时某带电粒子刚好从M点射入第一象限，最终从直线x=a边界上的K点（图中未画出）穿出磁场，穿出磁场时其速度方向沿x轴正方向（该粒子始终只在第一象限内运动），则K点到x轴最大距离为多少？要达到此最大距离，图乙中的T值为多少？

【推荐2】世界上最早最精确的极光观测记录可追溯到汉朝《汉书·天文志》中的史料记载。极光是高能粒子流（太阳风）射向地球时，由于地磁场作用，部分进入地球极区，使空气中的分子或原子受激跃迁到激发态后辐射光子，而产生的发光现象。假设地磁场边界到地心的距离为地球半径的倍。如图所示是赤道所在平面的示意图，地球半径为R，匀强磁场垂直纸面向外，MN为磁场圆的直径，MN左侧宽度为的区域内有一群均匀分布、质量为m、带电荷量为+q的粒子垂直MN以速度v射入地磁场，正对地心O的粒子恰好打到地球表面，不计粒子重力及粒子间的相互作用。已知若，则x可表示为。求：

（1）地磁场的磁感应强度大小；
（2）正对地心射入的粒子从进入磁场到打到地球表面的时间；
（3）在地磁场中打到地面的粒子从进入磁场到打到地球表面的最短时间。

【推荐3】如图所示，一群初速度为零的电子经过的电场加速后，沿轴负方向进入的圆形磁场区域。仅在轴上方0至范围内有电子进入磁场，电子在圆形磁场内偏转后都汇聚到圆形磁场的最低点。圆形磁场区域磁感应强度记作（大小未知），电子再进入轴正下方区域足够大的匀强磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向里，在的范围放置一足够长的感光板用于探测与收集电子。已知电子比荷为，求：
（1）电子加速后的速度大小；
（2）圆形区域磁感应强度的大小；
（3）宽度为范围内飞出的电子，在圆形磁场内运动的最长时间；
（4）电子进入磁场前，沿轴均匀分布，这些电子经两个磁场偏转后有部分能到达感光板，求感光板上接收到电子而发光区域的长度和收集电子的百分比。

【推荐2】如图为某种质谱仪的结构的截面示意图，该种质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器及收集器组成．其中静电分析器由两个相互绝缘且同心的四分之一圆柱面的金属电极K₁和K₂构成，两柱面电极的半径分别为R₁和R₂，O₁点是圆柱面电极的圆心．S₁和S₂分别为静电分析器两端为带电粒子进出所留的狭缝．静电分析器中的电场的等势面在该截面图中是一系列以O₁为圆心的同心圆弧，图中虚线A是到K₁、K₂距离相等的等势线．磁分析器中有以O₂为圆心的四分之一圆弧的区域，该区域有垂直于截面的匀强磁场，磁场左边界与静电分析器的右边界平行．P₁为磁分析器上为带电粒子进入所留的狭缝，O₂P₁的连线与O₁S₁的连线垂直．
离子源不断地发出正离子束，正离子束包含电荷量均为q的两种质量分别为m、m′(m<m′<2m)的同位素离子，其中质量为m的同位素离子个数所占的百分比为α．离子束从离子源发出的初速度可忽略不计，经电压为U的加速电场加速后，全部从狭缝S₁沿垂直于O₁S₁的方向进入静电分析器．稳定情况下，离子束进入静电分析器时的等效电流为I．进入静电分析器后，质量为m的同位素离子沿等势线A运动并从狭缝S₂射出静电分析器，而后由狭缝P₁沿垂直于O₂P₁的方向进入磁场中，偏转后从磁场下边界中点P₂沿垂直于O₂P₂的方向射出，最后进入收集器．忽略离子的重力、离子之间的相互作用、离子对场的影响和场的边缘效应．

(1)求静电分析器中等势线A上各点的电场强度E的大小；
(2)通过计算说明质量为m′的同位素离子能否从狭缝S2射出电场并最终从磁场下边界射出；
(3)求收集器单位时间内收集的离子的质量M₀