【推荐1】如图所示，在水平面上固定一弹簧匣，左端与轻质弹簧的A端相连，自由状态下弹簧另一端位于B点；在与B点相距的C处固定一竖直圆轨道，半径，圆轨道底端略微错开：在点右侧放置等腰直角三角形支架，点在点正下方，点与点等高，水平。质量的小物块（可视为质点）被压缩的弹簧弹出，它与段的动摩擦因数，不计轨道其它部分的摩擦。
（1）要使物块能进入竖直圆轨道，弹簧的初始弹性势能至少多大；
（2）若物块恰能过圆周最高点，弹簧的初始弹性势能多大；
（3）若物块恰能到达圆心等高处，求物块在第一次过C点时对轨道的压力。
（4）若弹簧的初始弹性势能为，则打在等腰直角三角形支架PEQ的何处（落点距P点距离）?

【推荐2】光滑斜面的下端与半径为R的光滑圆轨道平滑连接。现在使质量为m的小球从斜面上端距地面高度为2R的A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，试求：
（1）小球到达圆轨道最低点B时的速度大小；
（2）小球在最低点B时对轨道的压力大小；
（3）小球沿圆轨道运动到C点时将要脱离圆轨道，求此时速度v_C。

【推荐1】如图所示，长木板A置于光滑水平面上，木板右端距固定平台距离d=4m，木板厚度与光滑平台等高，平台上固定半径的光滑半圆轨道，轨道末端与平台相切。木板左端放置滑块B，滑块与木板上表面间的动摩擦因数，给滑块施加水平向右的作用力，作用时间后撤去，滑块质量，木板质量，滑块没有滑离木板，不计空气阻力，重力加速度。
（1）在0~t₁时间内，分别求A、B的加速度大小；
（2）若木板与平台间每次碰撞前后速度大小均不变，方向相反，最终滑块停在木板右端，求木板长度；
（3）若木板长度，且木板与平台第一次碰撞即与平台粘合在一起，滑块继续运动，求滑块通过轨道最高点时对轨道压力大小。

【推荐2】如图，长度为、质量为m、电阻为R的均匀金属棒垂直架在水平面甲内间距为的两光滑金属导轨的右边缘处，左端是一充满电的电容器C，光滑的斜轨道紧挨着甲、乙两个平面的水平轨道，但不连接，斜轨道的倾角为53°，斜面底端有一小段高度可忽略的光滑圆弧，水平面乙的光滑水平金属导轨的间距分别为和L，甲、乙两平面的高度差为。长度为、质量为m、电阻为R的均匀金属棒垂直架在间距为L的金属导轨左端。导轨与与均足够长，所有导轨的电阻都不计。所有导轨的水平部分均有竖直向下的、磁感应强度为B的匀强磁场，斜面部分无磁场。闭合开关S，金属棒迅速获得水平向右的速度做平抛运动，刚好落在斜面底端，没有机械能损失，之后沿着水平面乙运动。已知重力加速度为g，求：
（1）电容器哪一端是正极；
（2）金属棒做平抛运动的初速度；
（3）电容器C释放的电荷量q；
（4）从金属棒刚落到圆弧轨道上起至开始匀速运动止，这一过程中金属棒产生的热量。

【推荐3】如图所示为北京2022年冬奥会一自由式滑雪大跳台技巧比赛场地示意图，比赛场地由出发区AB、助滑坡BC、第一过渡区CD、跳台DE、第二过渡区EF、着陆坡FG和终点区GH组成、在H处安置半径为R=1.0m的圆形轨道，进出口H、H₁靠近带相互错开，H₁N足够长。第一过渡区和终点区的的最低点在同一水平地面上，出发区距地面的高度，跳台最高点E和着陆坡最高点F离地面的高度均为，着陆坡度37°。运动员从助滑坡顶端B由静止滑下，离开跳台在空中完成预定动作到达F点正上方的最高点M后水平飞出，M点离水平地面（GH所在水平面）的高度为7.6m，在落到倾斜雪道FG上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起，此后立即做匀加速运动经过G点。假设运动员连同滑雪板的总质量，除缓冲外运动员可视为质点，滑雪板与雪道GH的动摩擦因数，不计其余滑道和空气的阻力，不计经过各转折点处的能量损失，，，求：
（1）运动员从M点水平飞出的速度v_M；
（2）运动员在倾斜雪道FG上滑行的时间（结果可用根号表示）；
（3）若运动员能够进入圆形轨道且不脱离轨道，雪道GH的长度应满足什么条件？

【推荐1】如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ、Ⅲ象限内有平行于y轴，电场强度大小相同、方向相反的匀强电场，在第Ⅳ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场．一质量为m，电荷量为q的带电粒子，从y轴上的M(0，d)点，以大小为v₀的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴的N 点进入第Ⅳ象限内，又经过磁场垂直y轴进入第Ⅲ象限，最终粒子从x轴上的P点离开．不计粒子所受到的重力．求：

(1)匀强电场的电场强度E和磁场的磁感应强度B的大小；
(2)粒子运动到P点的速度大小；
(3)粒子从M点运动到P点所用的时间．

【推荐2】如图所示,竖直平面xoy内有三个宽度均为L首尾相接的电场区域ABFE、BCGF和CDHG.三个区域中分别存在方向+y、+y、+x的匀强电场,其场强大小比例为2:1:2.现有一带正电的物体以某一初速度从坐标为（0,L）的P点射入ABFE场区,初速度方向水平向右．物体恰从坐标为（2L,）的Q点射入CDHG场区，已知物体在ABFE区域所受电场力和所受重力大小相等，重力加速度为g，物体可以视作质点，y轴竖直向上，区域内竖直方向电场足够大．求：

（1）物体进入ABFE区域时的初速度大小；
（2）物体在ADHE区域运动的总时间；
（3）物体从DH边界射出位置的坐标．

【推荐3】如图所示，平面直角坐标系xOy内有一圆形匀强磁场区域，其圆心在坐标为（0，R）的点，半径为R，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直坐标平面向内，在磁场区域的右侧（x>R）的区域内有范围足够大的匀强电场区域，电场强度大小为E，方向沿y轴正方向。一电荷量为q的带负电粒子从O点沿y轴正方向以一定的初速度射入磁场区域，并恰好从A（R，R）点射出磁场区域，且经过点（2R，0），不计带电粒子的重力和空气阻力。
（1）求带电粒子的质量m和初速度大小v₀；
（2）若将带由点（，0）沿y轴正方向以相同的初速度射向磁场，求粒子在磁场中运动的时间t。