如图所示,某行星绕太阳公转的运动轨道为椭圆,其近日点A和远日点B离太阳的距离分别为rA和rB.已知太阳质量为M,引力常量为G.(取无穷远处为零势能点时,两质量分别为m1、m2天体间的引力势能表达式为
,其中r为两天体中心间的距离.)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2018/8/4/2003448847253504/2004731421286400/STEM/eaf48aefd8104f3a89b0a4e81fd87144.png?resizew=214)
(1)请结合开普勒第三定律求出该行星轨道半长轴a的三次方与它的公转周期T的平方的比值;
(2)请结合开普勒第二定律求出该行星在近日点A点的速度大小.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36b076b551eb5f89f85195721d5537f6.png)
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(1)请结合开普勒第三定律求出该行星轨道半长轴a的三次方与它的公转周期T的平方的比值;
(2)请结合开普勒第二定律求出该行星在近日点A点的速度大小.
更新时间:2018-08-06 22:12:01
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【推荐1】已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g。质量为m的宇宙飞船在半径为
的轨道1上绕地球中心O做圆两运动。现飞船在轨道1的A点加速到椭圆轨道2上,再在远地点B点加速,从而使飞船转移到半径为
的轨道3上,如图所示。若相距r的两物体间引力势能为
,求:
(1)飞船在轨道2上经过近地点A和远地点B的速率之比
。
(2)飞船在轨道2上从A点到B点飞行的时间。
(3)若要实现由A点从轨道1转移到轨道2,需要在轨道1上对飞船做多少功?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a6205ed45e22117936a730afad258b6d.png)
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(1)飞船在轨道2上经过近地点A和远地点B的速率之比
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/628005d1656243a0fb64701777966605.png)
(2)飞船在轨道2上从A点到B点飞行的时间。
(3)若要实现由A点从轨道1转移到轨道2,需要在轨道1上对飞船做多少功?
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/10/27/d2f4461d-2d83-4f85-8e75-dc38c023e757.png?resizew=153)
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【推荐2】2021年5月,“天问一号”探测器成功在火星软着陆,我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。
(1)为了简化问题,可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动,如图1所示。已知地球的公转周期为
,火星的公转周期为
。
a.已知地球公转轨道半径为
,求火星公转轨道半径
;
b.考虑到飞行时间和节省燃料,地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机,推导在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔
。
(2)火星探测器在火星附近的A点减速后,被火星捕获进入了1号椭圆轨道,紧接着在B点进行了一次“远火点平面机动”,俗称“侧手翻”,即从与火星赤道平行的1号轨道,调整为经过火星两极的2号轨道,将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”,从而实现对火星表面的全面扫描,如图2所示。以火星为参考系,质量为
的探测器沿1号轨道到达B点时速度为
,为了实现“侧手翻”,此时启动发动机,在极短的时间内喷出部分气体,假设气体为一次性喷出,喷气后探测器质量变为
、速度变为与
垂直的
。求喷出气体速度u的大小;
(3)B点到火星球心的距离为
,火星质量为
。探测器在以B为远火点的椭圆轨道2上运行时轨道近火点C(图中未标出)到火星球心的距离为
(未知)。已知引力势能
,其中M为产生引力场物体(中心天体)的质量,m为研究对象的质量,G为引力常量,r为两者质心的距离,求探测器沿2号轨道运动至近火点的速度
的大小。
(1)为了简化问题,可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动,如图1所示。已知地球的公转周期为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4e9a724b59c890095baa5cb73e267c44.png)
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a.已知地球公转轨道半径为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2858005b9ae89ae080d83dcc13cf8e81.png)
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b.考虑到飞行时间和节省燃料,地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机,推导在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54ec106b92bc77e6716692a61a15a0d4.png)
(2)火星探测器在火星附近的A点减速后,被火星捕获进入了1号椭圆轨道,紧接着在B点进行了一次“远火点平面机动”,俗称“侧手翻”,即从与火星赤道平行的1号轨道,调整为经过火星两极的2号轨道,将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”,从而实现对火星表面的全面扫描,如图2所示。以火星为参考系,质量为
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(3)B点到火星球心的距离为
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(0.4)
【推荐3】建立物理模型是解决实际问题的重要方法。
(1)如图1所示,圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知,地球质量为M,半径为R,万有引力常量为G。
a、卫星在近地轨道Ⅰ上围绕地球的运动,可视做匀速圆周运动,轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小v。
b、在P点进行变轨操作,可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ、卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂,研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段,卫星在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分(如图2所示)。这样,在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时,就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为
,在远地点D的速度为
,远地点D到地心的距离为r。根据开普勒第二定律(对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等)可知
,请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。
(2)在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景:地球在木星的强大引力作用下,加速向木星靠近,当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时,地球表面物体就会被木星吸走,进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知,木星和地球的密度分别为
和
,木星和地球的半径分别为
和R,且
。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离d——“洛希极限”的表达式。【提示:当x很小时,
。】
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/12/562acad7-a4c9-4cbd-81a2-623786b39f12.png?resizew=191)
(1)如图1所示,圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知,地球质量为M,半径为R,万有引力常量为G。
a、卫星在近地轨道Ⅰ上围绕地球的运动,可视做匀速圆周运动,轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小v。
b、在P点进行变轨操作,可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ、卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂,研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段,卫星在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分(如图2所示)。这样,在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时,就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f44c235d8b49207ad3f2d77dc5d6cf20.png)
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(2)在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景:地球在木星的强大引力作用下,加速向木星靠近,当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时,地球表面物体就会被木星吸走,进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离d被称为“洛希极限”。已知,木星和地球的密度分别为
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(0.4)
【推荐1】开普勒第三定律指出:所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等,即
,其中a表示椭圆轨道半长轴,T表示公转周期,比值c是一个对所有行星都相同的常量。牛顿把该定律推广到宇宙中一切物体之间,提出了万有引力定律:
(1)开普勒第三定律对于轨迹为圆形和直线的运动依然适用。圆形轨迹可以认为中心天体在圆心处,半长轴为轨迹半径。直线轨迹可以看成无限扁的椭圆轨迹,此时中心天体在轨迹端点,半长轴为轨迹长度的
。已知:某可视为质点的星球质量为M,引力常量为G。一物体与星球的距离为r。该物体在星球引力作用下运动,其他作用力忽略不计。
a.若物体绕星球做匀速圆周运动,请你推导该星球的引力系统中常量c的表达式;
b.若物体由静止开始做直线运动。求物体到达星球所经历的时间(r远大于R);
(2)万有引力和静电引力是自然界中典型的两种引力,库仑定律和万有引力定律均遵循“平方反比”规律,类比可知,带电粒子在电场中的运动也遵循开普勒第三定律。两个点电荷带电量分别为+Q和-Q,质量均为m,从相距为2l的两点由静止释放,在静电引力的作用下运动,其他作用力忽略不计。静电力常量为k。求两点电荷从开始释放到相遇的时间。
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(1)开普勒第三定律对于轨迹为圆形和直线的运动依然适用。圆形轨迹可以认为中心天体在圆心处,半长轴为轨迹半径。直线轨迹可以看成无限扁的椭圆轨迹,此时中心天体在轨迹端点,半长轴为轨迹长度的
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a.若物体绕星球做匀速圆周运动,请你推导该星球的引力系统中常量c的表达式;
b.若物体由静止开始做直线运动。求物体到达星球所经历的时间(r远大于R);
(2)万有引力和静电引力是自然界中典型的两种引力,库仑定律和万有引力定律均遵循“平方反比”规律,类比可知,带电粒子在电场中的运动也遵循开普勒第三定律。两个点电荷带电量分别为+Q和-Q,质量均为m,从相距为2l的两点由静止释放,在静电引力的作用下运动,其他作用力忽略不计。静电力常量为k。求两点电荷从开始释放到相遇的时间。
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(0.4)
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【推荐2】“神舟六号”载人飞船于2005年10月12日上午9点整在酒泉航天发射场发射升空
由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上,A点距地面的高度为
,飞船飞行五圈后进行变轨,进入预定圆轨道,如图所示
在预定圆轨道上飞行N圈所用时间为t,于10月17日凌晨在内蒙古草原成功返回
已知地球表面重力加速度为g,地球半径为
求:
(1)飞船在A点的加速度大小.
(2)远地点B距地面的高度.
(3)沿着椭圆轨道从A到B的时间.
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(1)飞船在A点的加速度大小.
(2)远地点B距地面的高度.
(3)沿着椭圆轨道从A到B的时间.
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(0.4)
【推荐3】利用金星凌日现象,我们可以估算出地球与太阳之间的平均距离。日地平均距离也被定义为1个天文单位(1A.U.),是天文学中常用的距离单位。
金星轨道在地球轨道内侧,某些特殊时刻,地球、金星、太阳恰在一条直线上,这时从地球上可以看到金星就像一个小黑点一样在太阳表面缓慢移动,如图甲所示,天文学称之为“金星凌日”。在地球上的不同地点,比如图乙中的A、B两点,它们在同一时刻观察到的金星在日面上的位置是不同的,我们分别记为、
。
(1)人类在此之前就观察到金星绕日公转的周期是0.62年。据此估算金星与太阳的平均距离大约是多少个天文单位;
(2)设金星与太阳的距离为k倍日地距离,即kA.U.可测得地球上A、B之间的距离为l,估算、
在太阳表面的真实距离;
(3)在A、B两地分别同时拍摄金星凌日的照片,然后将其重合起来观察,如图丙所示。发现太阳的直径是两列轨迹之间距离n倍。若已知太阳直径对地面观察者的张角(亦称视直径)为,
为很小的角,可认为:
,请写出日地距离的表达式(用l、k、n、
表示)。
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(0.4)
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【推荐1】在某质量均匀的星球表面以初速度 v0 竖直上抛一个物体,若物体只受该星球引力作用,物体上 升的最大高度为 h,已知该星球的半径为 R,万有引力恒量为 G,忽略其它力的影响,试求:
(1)该星球表面处的重力加速度 gx
(2)该星球的质量 M;
(3)如果已知两个质点之间的万有引力势能满足 Ep=
(两质点相距无穷远时引力势能为零),其中m1、m2 为两质点的质量,r 为两质点之间的距离.这一规律也满足于两个均匀质量的球体之间,这时 r 为两球心之间的距离.现在设想从该星球表面发射一个物体,使其脱离该星球的引力范围而逃逸,这个速度至少多大?是否必须沿着该星球的竖直向上方向发射?
(1)该星球表面处的重力加速度 gx
(2)该星球的质量 M;
(3)如果已知两个质点之间的万有引力势能满足 Ep=
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(0.4)
【推荐2】类比是研究问题的常用方法,科学史上很多重大发现、发明往往发端于类比。
(1)一质量为
的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,轨道半径为
。将地球视为质量均匀分布的球体,已知地球质量为
,万有引力常量为
,
①求卫星的速度大小
和动能
;
②若质量分别为
和
的质点相距为
时,它们之间的引力势能的表达式为
,求卫星与地球组成的系统机械能。
(2)在玻尔的氢原子理论中,质量为
的电子绕原子核做匀速圆周运动的轨道半径是量子化的,电子的轨道半径和动量必须满足量子化条件
,式中
是普朗克常量,
是轨道半径,是电子在该轨道上的速度大小,
是轨道量子数,可以取1、2、3等正整数。已知电子和氢原子核的电荷量均为
,静电力常量为
,根据上述量子化条件,类比天体系统证明电子在任意轨道运动时系统能量表达式可以写为
,其中
是与
无关的常量。
(1)一质量为
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①求卫星的速度大小
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/575ddde9666159e1a10c81145836816d.png)
②若质量分别为
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1fbd67f60f04c278bdd867fdb3979dfb.png)
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(2)在玻尔的氢原子理论中,质量为
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【推荐3】人造卫星在绕地球运行时,会遇到稀薄大气的阻力。如果不进行必要的轨道维持,稀薄大气对卫星的这种微小阻力会导致卫星轨道半径逐渐减小,以至最终落回地球。这个过程是非常漫长的,因此卫星每一圈的运动仍可以认为是匀速圆周运动。规定两质点相距无穷远时的引力势能为零,理论上可以得出质量分别m1、m2的两个物体相距r时,系统的引力势能为
。已知人造卫星的质量为m,某时刻绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r,地球半径为R,地球表面附近的重力加速度为g。
(1)求此时刻卫星的瞬时速度大小v和卫星的机械能E机。
(2)由于大气阻力的影响,卫星的轨道半径逐渐减小。求在这个过程中,万有引力做的功WG与克服大气阻力做的功Wf的比。
(3)已知地球半径为6400km。当卫星轨道离地面的高度为200km时,由于大气阻力的影响,测得卫星每绕地球一周,轨道高度降低20m。试估算在此高度大气对卫星的阻力大小f与卫星所受地球引力大小F的比值k(答案保留1位有效数字)。
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(1)求此时刻卫星的瞬时速度大小v和卫星的机械能E机。
(2)由于大气阻力的影响,卫星的轨道半径逐渐减小。求在这个过程中,万有引力做的功WG与克服大气阻力做的功Wf的比。
(3)已知地球半径为6400km。当卫星轨道离地面的高度为200km时,由于大气阻力的影响,测得卫星每绕地球一周,轨道高度降低20m。试估算在此高度大气对卫星的阻力大小f与卫星所受地球引力大小F的比值k(答案保留1位有效数字)。
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