【推荐1】如图所示，某行星绕太阳公转的运动轨道为椭圆，其近日点A和远日点B离太阳的距离分别为r_A和r_B．已知太阳质量为M，引力常量为G．（取无穷远处为零势能点时，两质量分别为m₁、m₂天体间的引力势能表达式为，其中r为两天体中心间的距离．）

(1)请结合开普勒第三定律求出该行星轨道半长轴a的三次方与它的公转周期T的平方的比值；
(2)请结合开普勒第二定律求出该行星在近日点A点的速度大小．

【推荐2】2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。
（1）为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。已知地球的公转周期为，火星的公转周期为。
a．已知地球公转轨道半径为，求火星公转轨道半径；
b．考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，推导在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔。
（2）火星探测器在火星附近的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“远火点平面机动”，俗称“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示。以火星为参考系，质量为的探测器沿1号轨道到达B点时速度为，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为、速度变为与垂直的。求喷出气体速度u的大小；
（3）B点到火星球心的距离为，火星质量为。探测器在以B为远火点的椭圆轨道2上运行时轨道近火点C（图中未标出）到火星球心的距离为（未知）。已知引力势能，其中M为产生引力场物体（中心天体）的质量，m为研究对象的质量，G为引力常量，r为两者质心的距离，求探测器沿2号轨道运动至近火点的速度的大小。

【推荐1】“嫦娥一号”卫星开始绕地球在椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆周运动的卫星．设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T，已知月球半径为R，引力常量为G，求：
（1）月球的质量M及月球表面的重力加速度g；
（2）在距月球表面高度为的地方（），将一质量为m的小球以的初速度水平抛出，求落地瞬间月球引力对小球做功的瞬时功率P。

【推荐2】宇航员成功登上半径为R的某星球后，为初测星球质量，在该星球表面上固定一倾角为θ=30^o的斜面．使小物块以速度v₀从斜面底端沿斜面向上运动，得到其往返运动v-t图线如图．若图中t₀已知，且引力常量为G．求：

（1）物块回到斜面底端时的速度大小；
（2）该星球的质量．

【推荐3】已知地球半径为R，万有引力常数为G，某行星半径为地球半径的三倍，一个质量为m的砝码，在该行星上用弹簧测力计称得重力大小为G₀，求
(1)该行星的体积V；
(2)该行星的质量M；
(3)该行星的密度ρ。

【推荐1】2024年4月25日神舟十八号载人飞船成功发射，标志着中国载人航天技术已走在世界前列。有人对今后神州系列飞船的发射构想：沿着地球的某条弦挖一通道，并铺设成光滑轨道，在通道的两个出口分别将一物体和飞船同时释放，利用两者碰撞（弹性碰撞）效应，将飞船发射出去，已知地表重力加速度g，地球的半径为R；物体做简谐运动的周期，m为物体的质量，k为简谐运动物体的回复力和其离开平衡位置的位移大小之比。
（1）若神州十八号飞船贴近地球表面做匀速圆周运动，则其运行的线速度大小；
（2）如图甲，设想在地球上距地心h处挖一条光滑通道AB，从A点静止释放一个质量为m的物体，求物体从A运动到B点的时间，以及物体通过通道中心O′的速度大小（质量分布均匀的空腔对空腔内的物体的万有引力为零）；
（3）如图乙，若通道已经挖好，且，如果在AB处同时释放质量分别为M和m的物体和飞船，他们同时到达O′点并发生弹性碰撞，要使飞船飞出通道口时速度达到第一宇宙速度，M和m应该满足什么关系？

【推荐2】荡秋千杂技表演是大家喜爱的一项活动，随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其他星球上观看荡秋千杂技表演，假设你用弹簧秤称出质量为m的物体受到的重力为F、星球半径为R，人的质量为M，秋千质量不计、绳长为l、摆角为（摆角是绳子与竖直方向的夹角，），万有引力常量为G，那么：
（1）该星球的密度多大？该星球表面的第一宇宙速度是多少？
（2）假设人坐在秋千上，把你看作一个质点，从θ角处静止释放，你经过最低点时对秋千的压力是多少？
（3）假设你驾驶飞船在距离星球上空飞行，测出做匀速圆周运动的周期为T，请求出该飞船距离星球表面的高度H。

【推荐3】建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，已知地球的半径为R，引力常量为G，球体的体积公式为，不考虑地球自转的影响，试推导第一宇宙速度v的表达式；
（2）我们已经学过了关于两个质点之间万有引力的大小是，但是在某些特殊情况下，非质点之间的万有引力的计算及其应用，我们利用下面两个已经被严格证明是正确的结论，可以有效地解决问题。
a.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图1所示，质点m₀放置在质量分布均匀的大球壳M₀（球壳的厚度也均匀）的空腔之内，那么m₀受到M₀的引力为零。
b.若质点m放置在质量分布均匀的大球体M之外（），那么它们之间的万有引力为，式中的r为质点m到球心之间的距离；为大球体的半径。利用以上两个结论和（1）中的已知条件，求距离地心为d（d＜R）处，质量为m的质点所受引力的大小F_d；
（3）如图2所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，假设小球只受地球引力的作用，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，在图3中画出小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像，求出小球在洞内运动过程中的最大速度v_m，并说明小球做什么运动。