20. 建立物理模型是解决实际问题的重要方法。
(1)如图1所示,圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知,地球质量为
M,半径为
R,万有引力常量为
G。
a、卫星在近地轨道Ⅰ上围绕地球的运动,可视做匀速圆周运动,轨道半径近似等于地球半径。求卫星在近地轨道Ⅰ上的运行速度大小
v。
b、在
P点进行变轨操作,可使卫星由近地轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ、卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂,研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段,卫星在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分(如图2所示)。这样,在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时,就可以按其等效的圆周运动来分析和处理。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点
P的速度为
,在远地点
D的速度为
,远地点
D到地心的距离为
r。根据开普勒第二定律(对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等)可知
,请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。
(2)在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景:地球在木星的强大引力作用下,加速向木星靠近,当地球与木星球心之间的距离小于某个值
d时,地球表面物体就会被木星吸走,进而导致地球可能被撕裂。这个临界距离
d被称为“洛希极限”。已知,木星和地球的密度分别为
和
,木星和地球的半径分别为
和
R,且
。请据此近似推导木星使地球产生撕裂危险的临界距离
d——“洛希极限”的表达式。【提示:当
x很小时,
。】