【推荐1】如图所示，真空中有以O为圆心，半径为R的圆柱形匀强磁场区域，磁感应强度方向垂直纸面向外，在虚线范围内、x轴上方足够大的范围内有宽度为d，方向沿y轴负向、大小为E的匀强电场。圆形磁场区域的右端与电场左边界相切，现从坐标原点O沿纸面不同方向发射速率为v的质子，已知质子的电荷量为e，质量为m，不计质子的重力。试求：
（1）P、N两点在圆周上，M是OP的中点，MN平行于x轴，若质子从N点平行于x轴出磁场，求磁感应强度的大小和质子从O点出射时的方向。
（2）求质子从N点平行于x轴出磁场后与x轴的交点坐标。

【推荐2】如图甲所示，两平行金属板间距为2l，长度为4l，O为两极板左侧的中点，OO₁为两极板间的中心线，以O为坐标原点建立如图xOy直角坐标系．现将两极板间加如图乙所示的交变电压（t=0时上极板带正电）．从t=0时刻起，有一速度大小均为v₀，区域宽度为l的平行电子束从左侧两极板正中央平行x轴不断入射，且所有电子均能从右侧两板间平行于x轴方向射出，有电子射出的区域宽度为2l．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略电子之间的相互作用．试求：
（1）对于t=0时刻从O点射入的电子在离开两极板时的位置坐标；
（2）交变电压的周期T和电压U₀的大小；
（3）为使所有电子会聚于P(6l，0)点，可在x≥4l区域加若干个垂直纸面的有界圆形匀强磁场，则确定磁感应强度B的范围．

【推荐3】如图所示，M、N为加速电场的两极板，M板中心Q点有一小孔，其正上方有圆心为O、半径R₁=1 m的圆形磁场区域和圆心为O、内半径为R₁、外半径的环形磁场区域。环形磁场区域的外边界与M板相切于Q点。两个磁场均垂直于纸面，磁感应强度大小均为B（B=0.5 T），但方向相反。一带正电的粒子从N板附近的P点由静止释放，经加速后通过小孔，垂直进入环形磁场区域。已知点P、Q、O在同一直线上，粒子的比荷，不计粒子的重力，且不考虑粒子的相对论效应。
（1）若加速电场的两极板间的电压U₁=5×10⁶ V，求粒子刚进入环形磁场时的速率v₀；
（2）要使粒子能进入中间的圆形磁场区域，加速电场的两极板间的电压U₂应满足什么条件？
（3）当加速电场的两极板间的电压为某一值时，粒子进入圆形磁场区域后恰能水平通过圆心O，之后返回到出发点P，求粒子从进入磁场到第一次回到Q点所用的时间t。

【推荐1】回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间有狭缝（间距），匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为，电荷量为，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压值的大小为，周期为T，与粒子在磁场中的周期相同．一束该种粒子在时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零.粒子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动；粒子重力不计，不考虑粒子在狭缝中的运动时间，不考虑粒子间的相互作用.求：

（1）匀强磁场的磁感应强度B；
（2）粒子从飘入狭缝至动能最大所需的总时间；
（3）实际中粒子的质量会随速度的增加而增大，加速后的质量与原来质量的关系：，则
①粒子质量增加后估计最多还能再加速多少次（需要简述理由）？
②若粒子质量最终增加，那么粒子最终速度为光速的多少倍（结果保留一位有效数字）？

【推荐2】1930年，Earnest O. Lawrence提出了回旋加速器的理论，他设想用磁场使带电粒子沿圆弧形轨道旋转，多次反复地通过高频加速电场，直至达到高能量．题图甲为Earnest O. Lawrence设计的回旋加速器的示意图．它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝；两个D型盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压．图乙为俯视图，在D型盒上半面中心S处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D型盒中．在磁场力的作用下运动半周，再经狭缝电压加速；为保证粒子每次经过狭缝都被加速，应设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致．如此周而复始，最后到达D型盒的边缘，获得最大速度后被束流提取装置提取出．已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，狭缝之间的距离为d．设正离子从离子源出发时的初速度为零．

（1）试计算上述正离子从离子源出发被第一次加速后进入下半盒中运动的轨道半径；
（2）设该正离子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，试推证当R>>d时，正离子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计（正离子在电场中运动时，不考虑磁场的影响）．
（3）若此回旋加速器原来加速的是α粒子（），现改为加速氘核（），要想使氘核获得与α粒子相同的动能，请你通过分析，提出一种简单可行的办法．

【推荐3】在高能物理研究中，粒子回旋加速器起着重要作用，如图甲为它的示意图．它由两个铝制D型金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条窄缝．两个D型盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压．图乙为俯视图，在D型盒上半面中心S处有一正离子源，它发出的正离子，经狭缝电压加速后，进入D型盒中．在磁场力的作用下运动半周，再经狭缝电压加速．如此周而复始，最后到达D型盒的边缘，获得最大速度，由导出装置导出．已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R．每次加速的时间很短，可以忽略不计．正离子从离子源出发时的初速度为零，求
（1）为了使正离子每经过窄缝都被加速，求交变电压的频率；
（2）求离子能获得的最大动能；
（3）求离子第1次与第n次在下半盒中运动的轨道半径之比。

【推荐1】各种加速器在装置上的类似性，源于它们在原理上的类似性。
（1）我们熟知经典回旋加速器如图（甲）所示，带电粒子从M处经狭缝中的高频交流电压加速，进入与盒面垂直的匀强磁场的两个D形盒中做圆周运动，循环往复不断被加速，最终离开加速器。另一种同步加速器，基本原理可以简化为如图（乙）所示模型，带电粒子从M板进入高压缝隙被加速，离开N板时；两板的电荷量均立即变为零；离开N板后，在匀强磁场的导引控制下回旋反复通过加速电场区不断加速，但带电粒子的旋转半径始终保持不变。已知带电粒子A的电荷量为+q，质量为m，带电粒子第一次进入磁场区时，两种加速器的磁场均为B₀，加速时狭缝间电压大小都恒为U，设带电粒子最初进入狭缝时的初速度为零，不计粒子受到的重力，不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应。
a．经典回旋加速器，带电粒子在不断被加速后，其在磁场中的旋转半径也会不断增加，求加速n次后，r_n的大小；
b．同步加速器因其旋转半径R始终保持不变，因此磁场必须周期性递增，请推导B_n的表达式；
（2）空间存在有一圆柱形的半径为r的匀强磁场区域，其横截面如图2所示，磁感应强度随时间按照图3所示的规律均匀变化。图中B₀和t₀为已知量。
a. 用电阻为R的细导线做成半径为r的圆环（图中未画出），圆环平面垂直于该磁场，圆环的中心与磁场中心重合。圆环半径小于该磁场的横截面半径。求 0~ t₀时间内圆环中产生的焦耳热Q。
b. 现将导体圆环替换成一个用绝缘细管做成的半径为r的封闭圆形管道，且圆形管道的中心与磁场区域的中心重合（图中未画出）。管道内有一小球，小球质量为m，带电量为+q。忽略小球的重力和一切阻力。t=0时小球静止,求t= t₀时小球运动的圈数。

【推荐2】某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图。回旋加速器的核心部分为两个D形盒，分别为D₁、D₂。D形盒装在真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒底面垂直。两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可以忽略不计。D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B。若质子从粒子源O处进入加速电场的初速度不计，质子质量为m、电荷量为＋q。加速器接入一定频率的高频交变电压，加速电压为U。不考虑相对论效应和重力作用。
（1）求质子第一次经过狭缝被加速后进入D形盒时的速度大小v₁和进入D形盒后运动的轨迹半径r₁；
（2）求质子被加速后获得的最大动能E_km和高频交变电压的频率f；