箱中微粒：多烯
量子力学中，π电子沿碳原子中性共轭链的移动可以仿照“ 箱中微粒”的方法。π电子的能量在下面的方程中给出：,n是量子数(n= 1， 2， 3，…。)，h是Planck's常数，m是电子质量，L是势箱的长度，并可近似地用L=(k+ 2) ×1.40 Å (k是分子碳链上共轭双键的数目)表示。适当波长λ 的光子可使π电子从最高占据轨道(HOMO)到最低未占据轨道(LUMO)。一个近似的半径验公式基于这个模型，将波长λ，双键数目k与常数B用下列关系式联系起来：
λ (nm)=B×等式1
(1).用这个半径验公式，取B= 65.01 nm，计算辛四烯(CH₂= CH- CH=CH- CH= CH- CH = CH₂)的波长λ (nm)___________。
(2).推导等式1(电子从HOMO转移到LUMO对应波长λ(nm)的表达式)，用k与基本常数表示。并以此计算常数B_calc的理论值___________。
(3).我们想合成一个线型多烯，在激发电子从HOMO到LUMO时需要吸收大概600nm的光子。用你第二部分的表达式，确定多烯中共轭双键数(k)并给出它的结构___________。[如果你没有做出第二部分，用半径验公式等式1，取B= 65.01 nm来完成第三部分。]
(4).对于第三部分得到的多烯分子，计算HOMO与LUMO之间的能量差△E，(kJ·mol^-1)。如果第三部分未解决，取k= 5解决这个问题。
(5).粒子在一维势箱中的模型可被扩展到三维长方体势箱中，长宽高为L_x、L_y与L_z。得到下列允许能级的表达式：
三个量子数n_x，n_y与n_z必须为整数且相互独立。
①给出三个不同的最低能量的表达式，假定为边长L的立方势箱___________。
②能级的能量相同称为简并。画出草图展示所有能量的能级，包括所有简并能级，立方势箱对应的量子数取1或2___________。