27. 问题再现:
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性,从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
例如:利用图形的几何意义证明完全平方公式.
证明:将一个边长为
a的正方形的边长增加
b,形成两个矩形和两个正方形,如图1:
这个图形的面积可以表示成:
(
a+
b)
2或
a2+2
ab+
b2∴(
a+
b)
2 =
a2+2
ab+
b2这就验证了两数和的完全平方公式.
类比解决:
(1)请你类比上述方法,利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)
问题提出:如何利用图形几何意义的方法证明:1
3+2
3=3
2?
如图2,
A表示1个1×1的正方形,即:1×1×1=1
3B表示1个2×2的正方形,
C与
D恰好可以拼成1个2×2的正方形,因此:
B、
C、
D就可以表示2个2×2的正方形,即:2×2×2=2
3而
A、
B、
C、
D恰好可以拼成一个(1+2)×(1+2)的大正方形.
由此可得:1
3+2
3=(1+2)
2=3
2尝试解决:
(2)请你类比上述推导过程,利用图形的几何意义确定:1
3+2
3+3
3=
.(要求写出结论并构造图形写出推证过程).
(3)问题拓广:
请用上面的表示几何图形面积的方法探究:1
3+2
3+3
3+…+
n3=
.(直接写出结论即可,不必写出解题过程)