【推荐1】如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边CD上的动点P重合（点P不与C、D重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上．连接AM、MP、AP，其中，AP与MN相交于点F，⊙O过点M、C、P．

(1)求证：△AFN≌△ADP；
(2)若AB＝CM，求证：△AMP为等腰直角三角形；
(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M，又与AD相切于点H，且AB＝4，求⊙O的直径．

【推荐2】如图，以AB为直径的上有一动点C，的切线CD交AB的延长线于点D，过点B作交于点M，连接AM，OM，BC．

(1)求证：
(2)若，填空：
①当AM＝          时，四边形OCBM为菱形；
②连接MD，过点O作于点N，若 ，则ON＝          ．

【推荐3】如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，1），B（3，1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜2）．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．
①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）
②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；
③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．
        

【推荐2】在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
【问题发现】
如图①，若，则 __________，与的数量关系是__________；
【类比探究】
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
【拓展应用】
如图③，点E为正方形的边上的点，，以为边在上方作正方形，点O为正方形的中心，若，请求出线段的长度．

【推荐3】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．

(1)求∠ABD的正弦值；
(2)求BG的长．

【推荐1】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线.

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在第二象限内，且，求的面积．
（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的上方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易．
解决问题：如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有 个；
（2）若点P在y轴正半轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）设sin∠APB=m，若点P在y轴上移动时, 满足条件的点P有4个，求m的取值范围．

【推荐3】如图，在矩形中，对角线相交于点，是边上的点，连结，交于点，过点作于点，交于点．

(1)求证：；
(2)当恰好平分时，
①判断的形状，并说明理由；
②求证：；
③记的面积为，的面积为，当时，求的值．

【推荐1】如图，是的直径，点是弧上一点，且，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若平分，求证：；
(3)在(2)的条件下，延长，交于点，若，，求的长和的半径．

【推荐2】如图，点E，F分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点G，且与相切，连接．
      
(1)若，求证：．
(2)若，，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长．
(3)连接，若的延长线经过点A，且，求的值．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积．