【推荐1】（1）如图1，等边三角形中，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转的度数得到线段，连接，则线段与线段的数量关系为___________；
（2）如图2，等腰直角三角形中，，点M，N分别为，的中点，点P为直线上一个动点，连接，将绕点N逆时针旋转的度数得到线段，连接．
①求线段与线段的数量关系，并说明理由；
②若，请直接写出线段的长．

   

【推荐1】【问题初探】
（1）如图①，在菱形中，连接，点是上一点，连接、，若，则______°；

   

（2）如图②，在中，，点是上一点，，连接，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别是点、，连接，求的长；

   

【实践探究】
（3）某校科技小组研发了一款智能操作机器人，正方形区域是该机器人的测试区域，如图③，米，随着研发机器人在逐渐升级，在某次测试中现要将正方形区域扩大，扩大方法为：连接并延长到点，延长到点，以、、为边的三角形是一个直角三角形，以为对角线作正方形，正方形即为扩大后的区域．机器人要从点沿的线路走到点，问这次测试中机器人走的路程是定值吗？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．

   

【推荐1】问题研究，如图，在等腰中，，点、为底边上的两个动点（不与、重合），且．
（1）请在图中找出一个与相似的三角形，这个三角形是__________；

（2）若，分别过点、作、的垂线，垂足分别为、，且、的反向延长线交于点，若，求四边形的面积；

问题解决
（3）如图所示，有一个矩形仓库，其中米，米，现计划在仓库的内部的、两处分别安装监控摄像头，其中点在边上，点在边上．设计要求且，则的长应为多少米？

【推荐3】如图，在中，，点D是的中点．
   
(1)如图1，若，点E是的中点，点F是的中点．
①求证：；
②求的值；
(2)如图2，点E是的中点， 于点F，G是的中点，求的值．

【推荐1】如图，边长为4的等边△ABC中，点D是BC的中点，点E是射线AD上一动点，△ECF是等边三角形，连接BE，BF．

(1)求∠FBC的度数；
(2)连接DF，求DF的最小值；
(3)是否存在点E，使得以点E，B，F，C为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，在中，，，AO是BC边上的中线，点D是AO上一点，，E是垂足，可绕着点O旋转，点F是点E关于点O的对称点，连接AD和CF．

(1)问题发现：如图2，当时，则下列结论正确的是_______．（填序号）
①；②点F是OC的中点：③AO是的角平分线；④．
(2)数学思考：将图2中绕点O旋转，如图3，则AD和CF具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
(3)拓展应用：在图1中，若，将绕着点O旋转．
①则_______CF；
②若，，在旋转过程中，如图4，当点D落在AB上时，连结BE，EC，求四边形ABEC的面积．