【推荐2】已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与y轴相交于点C，点C坐标为，另抛物线经过点，M为它的顶点．A点在B点左侧，N为抛物线上的点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若的面积．求N点的坐标．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，点是抛物线上一点，连接，当线段的中点恰好在轴上时，探究抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1是立方体和长方体模型，立方体棱长和长方体底面各边长都为1，长方体侧棱长为2，现用60张长为6，宽为4的长方形卡纸，剪出这两种模型的表面展开图，有两种方法：
方法一：如图2，每张卡纸剪出3个立方体表面展开图；
方法二：如图3，每张卡纸剪出2个长方体表面展开图（图中只画出1个）．

设用x张卡纸做立方体，其余卡纸做长方体，共做两种模型y个．要求制作的长方体的个数不超过立方体的个数．
（1）在图3中画出第二个长方体表面展开图，用阴影表示；
（2）请你写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（3）设每只模型（包括立方体和长方体）平均获利为w（元），w满足函数，
若想将模型作为教具卖出获得最大利润，则应该制作立方体和长方体各多少个？最大利润是多少？

【推荐1】如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：　 　；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴，x轴分别相交于点A、B．点D是x轴上动点，点D从点B出发向原点O运动，点E在点D右侧，DE=2BD．过点D作DH⊥AB于点H，将△DBH沿直线DH翻折，得到△DCH，连接CE．设BD=t，△DCE与△AOB重合部分面积为S．求：
（1）求线段BC的长（用含t的代数式表示）；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
   

【推荐3】如图①，在矩形中，动点从点出发，以2cm/s的速度沿向终点移动，设移动时间为t(s).连接，以为一边作正方形，连接、.设的面积为(cm²). 与t之间的函数关系如图②所示.
(1)         cm，        cm;
(2) 点从点到点的移动过程中，点的路径是_________________ cm.
(3)当为何值时，的面积最小?并求出这个最小值;
(4) 当为何值时，为等腰三角形?请直接写出结果．

【推荐1】如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，连接．

（1）求证：直线与相切；
（2）若，，求的长．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点B （4，0）、D （5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．
   
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求∠ADB的正切值；
（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．

【推荐3】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，边、与边的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．
（2）设，
①若，求n；
②直接写出n的取值范围．
（3）你觉得的面积有最大值吗？有最小值吗？请说明理由．