【推荐1】【材料】
《义务教育数学课程标准2022版）》对《切线的性质与判定》的新要求是：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“能用尺规作图：过圆外的一个点作圆的切线（课标课程内容中的实例76）”．根据这一要求转化为作图题为：

已知：如图，及外一点P
求作：过点P的的切线
作法：
①连接，作线段的垂直平分线交于点T；
②以点T为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点B；
③作直线．
则直线就是所求作的的切线．
【问题】
(1)请你按照上述步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵是的直径，
∴_____°．（       ）（填推理的依据）
∴．
又∵为的半径，
∴直线是的切线（       ）（填推理的依据）．
同理可证，直线也是的切线．
(3)在（2）的条件下，连接，若，的面积等于1，求的半径．

【推荐2】尺规作图：确定图中弧CD所在圆的圆心，已知：弧CD．求作：弧CD所在圆的圆心O．

【推荐3】如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
   

【推荐2】如图，在斜坡的坡顶平台处有一座信号塔，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡底的点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡长，坡度为，点与点在同一水平面上，且，．求信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：）

【推荐3】如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点，是延长线上的一点，交于点，连接，，若，．

(1)求的度数；
(2)若的半径为，求线段的长．

【推荐1】如图，矩形的顶点分别在菱形的边上，顶点在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若为的中点，菱形的周长为8，求的长度．

【推荐2】如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F，G，求证：PF＋PG＝AB．

【推荐3】如图，矩形中，的平分线分别交边于点E、F．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由．

【推荐1】如图，已知平行四边形，连接对角线．

（1）请用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点，交于点，交于点，并连接和；（保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是菱形．

【推荐2】四边形中，，，，，，动点从点开始，沿边，以1厘米/秒的速度向点运动；动点从点开始，沿边，以3厘米/秒的速度向点运动．已知、两点分别从、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为秒，问：

   

(1)为何值时，四边形是平行四边形？
(2)在某个时刻，四边形可能是菱形吗？为什么？

【推荐3】如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．

(1)当，时，求直线MN到直线AB的距离；
(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？写出证明过程；
(3)若D为AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？直接写出答案．