【推荐1】思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是　 　米．

思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是　 　；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC²的值．

【推荐2】如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
（1） 求证：PC是⊙O的切线；
（2） 点D在劣弧AC什么位置时，才能使，为什么?
（3） 在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

【推荐3】在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．
（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；
（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=2，DP=6，则BC=　 　．

【推荐1】在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转.

(1)初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由；
(2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2.
①求证：四边形为菱形；
②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积．

【推荐2】我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A按逆时针方向旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

（1）特例感知：在图2、图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=______BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为______．
（2）精确作图：如图4，已知在四边形ABCD内部存在点P，使得△PDC是△PAB的“旋补三角形”（点D的对应点为点A，点C的对应点为点B），请用直尺和圆规作出点P（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
（3）猜想论证：在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

【推荐3】如图，在和中，，，，不动，绕点旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF，求证：．

【推荐1】如图，在中，，，垂足为，点是边上的一个动点，过点作交线段于点，作交于点，交线段于点，设．

（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）若为直角三角形，求出的长．

【推荐2】（1）如图1，为等边三角形，点、分别为边、上的一点，将图形沿线段所在的直线翻折，使点落在边上的点处．求证：．
（2）如图2，按图1的翻折方式，，当时，求的值；
（3）如图3，在中，，，，点是边上的中点，射线与射线关于直线对称，点是射线上一个动点，当时，求的长．

【推荐3】如图1，在和中，，，，点，，在同一条直线上，连结．
   
(1)【问题解决】求证：．
(2)若，求的度数．
(3)【类比探究】如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，为的中点，连结，，，，求的长．

【推荐1】定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，
【理解】
（1）如图1，点A、、在上，的平分线交于点，连接、．则四边形是等补四边形．
请直接写出图中相等的边：______；互补的角：______．
【探究】
（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
【运用】
（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，直接写出的长．

【推荐3】如图，在中，以为直径的，交于点，且，交直线于点，连接．
   
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过作于，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于，若，，求的长．