【推荐1】在平面直角坐标系中，已知，，，且，交y轴于点E．
   
(1)如图1，若点C的横坐标为，求证：；
(2)如图2，若平分，点E的坐标为，求点C的横坐标；
(3)如图3，若，以为边在的左侧作等边，当时，求的长．

【推荐2】如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，，在x轴上，，且b、c满足等式．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)如图1，F为延长线上一点，连，若．求证：平分；
(3)如图2，中，，，M为中点，试确定与的位置关系．

【推荐3】阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．
如图1，，其中，，此时，点与点重合．

(1)操作探究1：小凡将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点，连结，求证：．
(2)操作探究2：小彬将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长、，它们相交于点．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：
①时，求证：为等边三角形；
②当________时，．（直接回答即可）
(3)操作探究3：小颖将图1中的绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，当旋转到点是边的中点时（可利用图4画图），直接写出线段的长为________．

【推荐1】定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且．
（1）若，点在延长线上．
        
① 当，点恰好为中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______;
② 如图2，若，图中是否存在“半角三角形”（△除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
（2）如图3，若，保持的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出，， 满足的数量关系：______．

【推荐3】已知：在平面直角坐标系中，为轴负半轴上的点，为轴负半轴上的点.
(1)如图1，以点为顶点、为腰在第三象限作等腰，若，，试求点的坐标；
(2)如图，若点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为，以为顶点，为腰作等腰.试问：当点沿轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
(3)如图，为轴负半轴上的一点，且，于点，以为边作等边，连接交于点，试探索：在线段、和中，哪条线段等于与的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

【推荐1】在中，，是平面内一动点（不与重合），连接，将绕点逆时针旋转至的位置．

(1)如图1，若为边的中点，，则的值为______．
(2)如图2，若在的边上，平分交于点，求的长．
(3)如图3，若在的边上，取中点，求证：．
(4)若是平面内任意一点（不与重合），直线交于点，连接，请直接写出的数量关系__________________．

【推荐1】如图，在矩形中，，，是上的一个动点．

(1)如图，连接，是对角线的三等分点，且，连接．当时，求的长
(2)如图，连接，，过点作交线段于点，连接，与交于点．当平分时，求的长
(3)如图，连接，点在上，将沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的面积．

【推荐2】【定义学习】

过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”．

如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”．

【性质探究】

（1）两条直线相交且所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数为______度（用表示）．

（2）如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接CD．

求证：．

【迁移运用】

（3）如图3，，点A在射线PM上，点B是射线PN上的点，且，．则的外部是否存在一点O使得“点足三角形OAB”的面积为，若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由．