【推荐3】如图，圆是的外接圆，直径于点，是延长线上一点，为的中点，连结，过点作直线垂直于点，交于点，连结．

(1)求证是等腰三角形；
(2)探究，，的数量关系，并说明理由；
(3)若，，，求的长．

【推荐2】如图1，在矩形中，，作的角平分线交于点，过做于点，连接．
   
(1)求证：；
(2)如图2，连接并延长交于点，交于点，求证：是的中点；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，在上取一点，连接，使，过作交的延长线于点，连接，若，的面积为45，求的长．

【推荐3】阅读理解：如果一个直角与一条折线相交形成一个封闭图形，那么这条折线在封闭图形上的部分就称为这个角的“补美边”． 例如：图1中∠QPK＝90°，它与折线MNGH形成的“补美边”有三条，分别是线段MN、NG和GH．
解决问题：（1）如图2，∠QPK与矩形ABCD形成“补美边”，点P在边AD上且AP＝2．若已知矩形ABCD中AB＝4，AD＝8．分别记∠QPK的两边PQ和PK交矩形的边于点E和点F，设∠APE＝，0≤≤90°．
①若＝30°，求∠QPK “补美边”的所有边长之和；
②若∠QPK “补美边”的所有边长之和为9，求tan的值．
（2）如图3，已知平行四边形ABCD中∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．点P在边AD上且AP＝2，若∠QPK与平行四边形ABCD形成“补美边”的所有边长之和为10，请直接写出线段AE的长．

【推荐1】如图1，菱形中，点E为边上的动点，作的外接圆，交对角线于点F，连接，，，已知，．

(1)求证：．
(2)如图2，记，交于点P，若，求的长．
(3)当的其中一个内角等于，求的长．

【推荐2】问题背景
在中，，点D为边上一动点，点E为边上一动点，沿直线把翻折，得到．
问题解决

(1)如图1，当与B重合时，求线段的长；
(2)如图2，当与边相交于点F，且时，连接，
①求五边形面积的最大值；
②连接，则的周长的最小值为        （直接写出答案）．