【推荐1】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边的中点，AE平分∠BAD，交BC于点E，点F在△ABC外部，且FA⊥AE于点A，FC⊥BC于点C．

(1)求证：BE＝CF；
(2)过点E作EM⊥BC，交AB于点M，连结MC，交AD于点N，求证：①△ACM≌△ECM；②BM＝2DN．

【推荐2】如图，中，，现有两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，同时停止运动．

(1)点运动几秒时，可得到等边三角形？
(2)当点在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间．

【推荐3】如图将绕着点A逆时针旋转得到．当点D恰好落在上时，连接．当，时，求证：．
   

【推荐1】如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，交于F，交于H．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)判断与的位置关系，并证明．

【推荐3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．

【推荐1】如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：   

（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；   

（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．   

【推荐2】数学学习小组“文化年”最近正在进行几何图形组合问题的研究，认真研读以下三个片段，并回答问题．
【片断一】小文说：将一块足够大的等腰直角三角板置于一个正方形中，直角顶点与对角线交点．重合，在转动三角板的过程中我发现某些线段之间存在确定的数量关系．
如图(1),若三角板两条直角边的外沿分别交正方形的边AB, BC于点M, N,则①OM+ON=MB+NB；②AM+CN=OD.
请你判断他的猜想是否正确?若正确请说明理由；若不正确请说明你认为正确的猜想并证明．
【片断 】小化说：将角板中个45°角的预点和正方形的一个顶点重合放置，使得这个角的两条边与正方形的一组邻边有交点．
如图(2),若以A为顶点的45°角的两边分别交正方形的边BC、 CD于点M, N.交对角线BD于点E、F,我发现：BE²+DE²=2AE²,只要准确旋转图(2)中的一个三角形就能证明这个结论．
请你在如图中画出图形并写出小化所说的具体的旋转方式：______________________________.
【片断三】小年说：将三角板的一个45°角放置在正方形的外部，同时角的两边恰好经过正方形两个相邻的顶点，
如图(3),设顶点为E的45°角位于正方形的边AD上方，这个角的两边分别经过点B、C，连接EA, ED,那么线段EB, EC, ED也存在确定的数量关系： (EB +ED)²=2EC² ，请你证明这个结论

【推荐3】如图所示，正方形中，点、、分别是边、、的中点，连接，．

（1）如图1，直接写出与的关系______；
（2）如图2，若点为延长线上一动点，连接，将线段以点为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段，连接．
①求证：≌；
②直接写出、、三者之间的关系；

【推荐1】如图，AB是△ABC外接圆的直径，O为圆心，CH⏊AB，垂足为H，且∠PCA=∠ACH，   CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，AP=2．
（1）判断直线PC是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的长．
（3）若tan∠ACP=，求⊙O半径．

【推荐2】如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，连结AC，CD．

（1）求证：∠PBH＝2∠HDC；
（2）若sin∠P＝，BH＝3，求BD的长．

【推荐3】已知，如图，在中，D是上的一点，的平分线交于点E，，．
   
(1)求的长；
(2)若交于点F，求的长．