【推荐1】抛物线的顶点A在某一条抛物线上，将抛物线向右平移个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线上．
(1)若，求抛物线的对称轴；
(2)求m与n的关系式；
(3)抛物线的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线上不同于顶点的任意一点，直线ED交抛物线于另一点M，直线EF交直线于点N，求证：直线MN与x轴互相垂直．

【推荐2】如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，交轴于另一点．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在直线上方的抛物线上，作轴，交线段于点，作轴，交抛物线于另一点，若，求点的坐标；
(3)如图，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与，轴交于，两点，与新抛物线交于、两点，作线段的垂直平分线，交直线于点，交轴于点，若，求证：．

【推荐2】如图，已知抛物线经过点A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到，点A、O、C的对应点分别是点、、、若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点的横坐标．

【推荐3】如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE＝OC，DM＝．
（1）求抛物线的对称轴方程；
（2）若DA＝DC，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使∠PQC＝45°，求点P的坐标．

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．

【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线＝，其顶点为，直线＝与轴、轴分别交于，两点．
（1）当抛物线的顶点在轴上时，求的值；
（2）当时，若的面积为，求的值；
（3）若点在抛物线上，把抛物线绕着点旋转，在时，总有随着的增大而增大，请直接写出的取值范围．

【推荐2】已知抛物线L：y＝x²+bx+c经过点M（2，﹣3），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）试判断抛物线L与x轴交点的情况；
（3）平移该抛物线，设平移后的抛物线为L′，抛物线L′的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N（2，﹣8），怎样平移才能使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形？

【推荐3】如图是一块美术小组使用剩余的画布，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度，美术小组计划进行裁剪：

(1)若裁剪成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的边长；
(2)若裁剪成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若裁剪成圆，判断能否裁剪出半径为的圆，请说明理由．